Осцилляционное дифференциальное уравнение

- обыкновенное дифференциальное уравнение, обладающее хотя бы одним осцилляционным (колеблющимся) решением. Имеются различные понятия осцилляционности решения. Наиболее распространены следующие: осцилляционность в точке (в качестве к-рой, как правило, берется [img: http://localhost:8080/file/041613-139.jpg]) и осцилляционность в промежутке. Ненулевое решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/041613-140.jpg] где f(t,0,..., 0)=0, наз. осцилляционным в точке [img: http://localhost:8080/file/041613-141.jpg] (в про межутк I), если оно имеет последовательность нулей, сходящуюся к [img: http://localhost:8080/file/041613-142.jpg] (соответственно имеет в I не менее пнулей с учетом их кратности). Осцилляционность уравнения (l) в [img: http://localhost:8080/file/041613-143.jpg] или в промежутке I понимается в соответствующем смысле. Среди осцилляционных в [img: http://localhost:8080/file/041613-144.jpg] уравнений выделяют уравнения, обладающие т. н. свойствами Аили В, т. е. в определенном смысле сходные с одним из уравнений [img: http://localhost:8080/file/041613-145.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041613-146.jpg] При этом уравнение (1) обладает свойством А, если каждое его решение, заданное в окрестности [img: http://localhost:8080/file/041613-147.jpg], при четном n является осцллляционным, а при нечетном п - либо осцилляционным, либо удовлетворяющим условию [img: http://localhost:8080/file/041613-148.jpg] Если же каждое решение уравнения (1), заданное в окрестности [img: http://localhost:8080/file/041613-149.jpg], при четном n является либо осцилляционным, либо удовлетворяющим условию (2) или [img: http://localhost:8080/file/041613-150.jpg] а при нечетном n - либо осцилляционным, либо удовлетворяющим условию (3), то оно обладает свойством В. Линейное уравнение [img: http://localhost:8080/file/041613-151.jpg] с локально суммируемым коэффициентом [img: http://localhost:8080/file/041614-1.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041614-2.jpg] обладает свойством А(свойством В), если [img: http://localhost:8080/file/041614-3.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041614-4.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041614-5.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041614-6.jpg], а mn- наименьший (v п- наибольший) из локальных минимумов (максимумов) многочлена [img: http://localhost:8080/file/041614-7.jpg] (см. [1] - [5]). Уравнение типа Эмдена - Фаулера [img: http://localhost:8080/file/041614-8.jpg] с локально суммируемым неположительным (неотрицательным) коэффициентом [img: http://localhost:8080/file/041614-9.jpg] обладает свойством А(свойством В).тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041614-10.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041614-11.jpg] (см. [4], [6], [7]). В ряде случаев вопрос об осцилляционности уравнения (1) можно свести к аналогичному вопросу для эталонных уравнений вида (4) и (5) с помощью теорем сравнения (см. [11]). При изучении осцилляционных свойств уравнений с отклоняющимся аргументом проявляются нек-рые специфич. особенности. Напр., если л почетно, [img: http://localhost:8080/file/041614-12.jpg] и для больших tсоблюдается неравенство [img: http://localhost:8080/file/041614-13.jpg] то все ненулевые решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/041614-14.jpg] являются осцилляционными в [img: http://localhost:8080/file/041614-15.jpg] (см. [10], [11]). В то же время при неположительном аи нечетном пуравнение без запаздывания (4) всегда имеет неосцилляционное решение. Понятия осцилляционности и неосцилляционности в промежутке изучаются в основном для линейных однородных уравнений. Они имеют фундаментальное значение для теории краевых задач (см. [12]).