Отделимость множеств

- одно из основных понятий дескриптивной теории множеств (введенное Н. Н. Лузиным [1]). Служит важным инструментом для исследования дескриптивной природы множеств. Говорят, что множества Аи А' отделимы при помощи множеств, обладающих свойствами Р, если существуют обладающие свойством Рмножества Ви В' такие, что [img: http://localhost:8080/file/041614-31.jpg] Основополагающие результаты по отделимости принадлежат Н. Н. Лузину и П. С. Новикову. В дальнейшем не только появились многочисленные варианты теорем отделимости, но и само понятие О. м. было обобщено и получило новые формы. Одно из таких обобщений связано со следующей теоремой Новикова [2]: пусть {А п} - последовательность А-множеств полного сепарабельного метрич. пространства такая, что [img: http://localhost:8080/file/041614-32.jpg], тогда существует последовательность {В п} борелевских множеств такая, что [img: http://localhost:8080/file/041614-33.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041614-34.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/041614-35.jpg]. Эта теорема и различные ее варианты и обобщения получили название теорем кратной (или обобщенной) отделимос т и. Классич. результаты относятся к множествам, лежащим в полных сепарабельных метрич. пространствах. В хаусдорфовом пространстве X:1) два непересекающихся аналитич. множества отделимы борелевскими множествами, порожденными системой G открытых множеств этого пространства [3] (если X - Урысона пространство, то "G открытых" можно заменить на "F замкнутых"; в хаусдорфовом пространстве этого сделать, вообще говоря, нельзя [4]); 2) пусть [img: http://localhost:8080/file/041614-36.jpg] - нек-рая система A-множеств, порожденных системой F;если Аесть A-множество, порожденное системой [img: http://localhost:8080/file/041614-37.jpg], и В - аналитич. множество, [img: http://localhost:8080/file/041614-38.jpg], то существует борелевское множество С, порожденное системой [img: http://localhost:8080/file/041614-39.jpg], такое, что [img: http://localhost:8080/file/041614-40.jpg] (см. [5]). В отличие от этих (и других) вариантов первого принципа отделимости многие формулировки второго принципа отделимости не зависят от топологии пространства, в к-ром лежат рассматриваемые множества. Одна из них [6]: пусть система [img: http://localhost:8080/file/041614-41.jpg] подмножеств данного множества замкнута относительно операции перехода к дополнению и содержит [img: http://localhost:8080/file/041614-42.jpg]; пусть {А п} - произвольная последовательность СА-множеств, порожденных системой [img: http://localhost:8080/file/041614-43.jpg]; тогда существует последовательность {С n} попарно непересекающихся СA-множеств, порожденных системой [img: http://localhost:8080/file/041614-44.jpg],такая, что [img: http://localhost:8080/file/041614-45.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/041614-46.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/041614-47.jpg] (более точно, это - одна из формулировок принципа редукции, см. [7]).