Отображение

однозначное - закон, по к-рому каждому элементу нек-рого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества Y(при этом Xможет совпадать с Y). Такое соотношение между элементами [img: http://localhost:8080/file/041615-48.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041615-49.jpg] записывается в виде y=f(x), y=fx или у-у (х). Пишут также [img: http://localhost:8080/file/041615-50.jpg] и говорит, что отображение f действует из Xв У. Множество X наз. областью определенияотображения, а множество [img: http://localhost:8080/file/041615-51.jpg] наз. множеством значений отображения. Отображение [img: http://localhost:8080/file/041615-52.jpg] наз. также отображением множества Xвомножество Y(или на множество Y, если [img: http://localhost:8080/file/041615-53.jpg]). Логически понятие "О." совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование. Отображение [img: http://localhost:8080/file/041615-54.jpg] порождает множество Grf= [img: http://localhost:8080/file/041615-55.jpg], наз. графиком отображения. Обратно, множество [img: http://localhost:8080/file/041615-56.jpg] определяет однозначное О. если и только если для всех и [img: http://localhost:8080/file/041615-57.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/041615-58.jpg], притом только один такой, что [img: http://localhost:8080/file/041615-59.jpg], тогда [img: http://localhost:8080/file/041615-60.jpg] Два отображения f и gназ. равными, если области их определения совпадают и f(x) = g(x) для любого [img: http://localhost:8080/file/041615-61.jpg]. В этом случае совпадают и области значений этих О. Отображение f на Xназ. постоянным, если f(x)=а для любого [img: http://localhost:8080/file/041615-62.jpg]. Сужением отображения [img: http://localhost:8080/file/041615-63.jpg] на подмножество [img: http://localhost:8080/file/041615-64.jpg] наз. отображение j, заданное на множестве Аравенством [img: http://localhost:8080/file/041615-65.jpg]; это сужение обозначается fA. Расширением отображения (или продолжением) на множество [img: http://localhost:8080/file/041615-66.jpg] наз. отображение F, определенное на E и удовлетворяющее равенству F(x)=f(x).для всех [img: http://localhost:8080/file/041615-67.jpg]. Если заданы три множества X, Y, Z, на X определено отображение f со значениями в Y, а на Yзадано отображение gсо значениями в Z, то существует отображение hс областью определения X, принимающее значения в Z и определяемое равенством h(x)=g[f(x)]. Это О. наз. композицией отображении fи g, а fи gсоответствующим и отображениями, и обозначается g o f, причем порядок записи играет существенную роль (для функций действительного переменного принят термин суперпозиция). Отображение hназ. также сложным отображением, составленным из внутреннего отображения f и внешнего отображения g. Понятие сложного О. обобщается на любое конечное число составляющих О. Отображение f, определенное на X и принимающее значения в Y, порождает новое О., заданное на подмножествах множества X и имеющее в качестве значений: подмножества множества Y. Именно, если [img: http://localhost:8080/file/041615-68.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041615-69.jpg] Множество f(A).наз. образом множества A. Если положить A={x}, то получится исходное отображение f(x), так что f(А).есть расширение отображения f(х).с множества X на множество [img: http://localhost:8080/file/041615-70.jpg] всех подмножеств множества X, если отождествлять одноэлементное множество с элементом, его составляющим. В случае Y=X множество Аваз. инвариантным подмножеством отображения f, если [img: http://localhost:8080/file/041615-71.jpg], а точка хназ. неподвижным эле ментом отображения f, если f(x)=x. Инвариантные множества и неподвижные элементы играют важную роль при решении функциональных уравнений вида f(х)=а или х-f(x)=a. Каждое отображение [img: http://localhost:8080/file/041615-72.jpg] порождает О., заданное на подмножествах множества f(X) и имеющее в качестве значений подмножества множества X. Именно, для каждого [img: http://localhost:8080/file/041615-73.jpg] через f-1(B) обозначается множество [img: http://localhost:8080/file/041615-74.jpg], называемое полным прообразом множества В. Если f-1(y) для любого [img: http://localhost:8080/file/041615-75.jpg] состоит из единственного элемента, то f-1 есть О. элемента, определенное на f(X), принимающее значения в X и называемое обратным отображением к f. Существование обратного О. эквивалентно разрешимости уравнения f(х)=у, Если [img: http://localhost:8080/file/041615-76.jpg] множества X п Yнаделены нек-рыми свойствами, то во множестве F(X, Y).всех О. на X в Y могут быть выделены содержательные классы. Так, для частично упорядоченных множеств X и Yотображение f наз. изотопным, если x<у влечет [img: http://localhost:8080/file/041615-77.jpg] Для комплексных плоскостей X и Y выделяется класс голоморфных О. Для топология, пространств X и Y естественным образом выделяется класс непрерывных О. этих пространств; строится развернутая теория дифференцирования отображений. Для О. скалярного аргумента и, в более общем случае, для О., определенных на пространстве с мерой, может быть введено понятие (сильной или слабой) измеримости и могут быть построены различные интегралы лебеговского типа (напр., Бохнера интеграл, Даниеля интеграл). О. наз. многозначным отображением, если нек-рым значениям x соответствуют подмножества [img: http://localhost:8080/file/041615-78.jpg], состоящие более чем из одного элемента. Таковы, напр., многолистные функции комплексного переменного, многозначные О. топологических пространств и др. Пит.:[1] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1065; [2]его же, Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., 2изд., М., 1968; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2изд., М., 1081. В. И. Соболев.