Отображение периодов

- отображение, сопоставляющее точке s базы Sсемейства [img: http://localhost:8080/file/041615-79.jpg] алгебраич. многообразий над полем С комплексных чисел когомо-логии [img: http://localhost:8080/file/041615-80.jpg] слоя над этой точкой, снабженные Ходжа структурой. Полученная при этом структура Ходжа рассматривается как точка в многообразии модулей структур Ходжа данного типа. Изучение О. п. восходит к исследованиям Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi) интегралов алгебраич. функций (см. А белев дифференциал). Однако до недавнего времени глубоко были изучены лишь О. п., отвечающие семействам кривых. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041615-81.jpg] есть семейство слоев [img: http://localhost:8080/file/041615-82.jpg] гладкого проективного морфизма [img: http://localhost:8080/file/041615-83.jpg], где S - гладкое многообразие. Тогда когомологии [img: http://localhost:8080/file/041615-84.jpg] снабжены чистой, поляризованной структурой Ходжа, к-рая задается гомоморфизмом вещественных алгебраических групп [img: http://localhost:8080/file/041615-85.jpg] где С* - мультипликативная группа С* поля комплексных чисел, рассматриваемая как вещественная алгебраич. группа, а [img: http://localhost:8080/file/041615-86.jpg] - алгебраич. группа линейных преобразований пространства V, умножающих невырожденную (симметрическую или кососимметрическую) билинейную форму y на скалярный множитель; причем автоморфизм Ad h(i).группы [img: http://localhost:8080/file/041615-87.jpg] является инволюцией Картана и [img: http://localhost:8080/file/041615-88.jpg] лежит в центре группы [img: http://localhost:8080/file/041615-89.jpg]. Множество XG гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/041615-90.jpg], обладающих указанными свойствами, естественным образом снабжено [img: http://localhost:8080/file/041615-91.jpg] -инвариантной структурой однородного кэлерова многообразия и наз. многообразием Гриффитса, а фактор [img: http://localhost:8080/file/041615-92.jpg] является пространством модулей структур Ходжа. Гомоморфизм h задает разложение Ходжа [img: http://localhost:8080/file/041615-93.jpg] алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041615-94.jpg] группы G, где [img: http://localhost:8080/file/041615-95.jpg] - подпространство в [img: http://localhost:8080/file/041615-96.jpg] на к-ром Ad h(z) действует умножением на [img: http://localhost:8080/file/041615-97.jpg]. Сопоставление [img: http://localhost:8080/file/041615-98.jpg], где Р(h).- параболич. подгруппа в [img: http://localhost:8080/file/041615-99.jpg], алгебра Ли к-рой есть [img: http://localhost:8080/file/041615-100.jpg], задает открытое плотное вложение многообразия XG в компактное [img: http://localhost:8080/file/041615-101.jpg] -однородное многообразие флагов [img: http://localhost:8080/file/041615-102.jpg]. В касательном пространстве [img: http://localhost:8080/file/041615-103.jpg] к XG в точке hвыделено горизонтальное подпространство [img: http://localhost:8080/file/041615-104.jpg] Голоморфное отображение в XG или MG наз. горизонтальным, если образ его касательного отображения лежит в горизонтальном подрасслоении. Установлено, что О. п. [img: http://localhost:8080/file/041615-105.jpg] горизонтально (см. [1], [3]). Особенности О. п. описываются теоремой Шмида о нильпотентной орбите, к-рая в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041615-106.jpg] - кривая с выколотой точкой, утверждает, что если z- локальная координата на S, z(0) = 0, то при [img: http://localhost:8080/file/041615-107.jpg] Ф (z) асимптотически близко к [img: http://localhost:8080/file/041615-108.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041615-109.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/041615-110.jpg] - нильпотентный элемент (см. [4]). Относительно группы монодромии [img: http://localhost:8080/file/041615-111.jpg] известно, что ее образ полупрост во всяком рациональном представлении группы G, а преобразования обхода Т вокруг дивизора с нормальными пересечениями [img: http://localhost:8080/file/041615-112.jpg] в гладкой компактификации [img: http://localhost:8080/file/041615-113.jpg] многообразия Sпорождают квазпунипотентные (т. е. имеющие в качестве собственных значений корни из 1) элементы [img: http://localhost:8080/file/041615-114.jpg]. Важность группы монодромии подчеркивает теорема жесткости (см. [1], [2], [4]): если над Sимеются два семейства алгебраич. многообразий, то соответствующие О. и. Ф 1 н Ф 2 из Sв MG совпадают тогда и только тогда, когда Ф 1(s0)=Ф 2(s0) в нек-рой точке [img: http://localhost:8080/file/041615-115.jpg] и гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/041615-116.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041615-117.jpg], i=l, 2, совпадают. Законченные результаты о строении ядра и образа О. п. относятся в основном к случаям кривых и КЗ-поверхностей. Если {Xs} - семейство многообразий указанного типа и Ф (s)= Ф (s'), то [img: http://localhost:8080/file/041615-118.jpg], (теорема Торелли), а для КЗ-поверхностей максимально возможный образ О. п. совпадает с MG (см. [7]). В случае кривых образ О. п. частично описан (соотношения Шоттки - Юнга, см. [6], [8]). Существует гипотеза Гриффитса о том, что многообразие модулей допускает частичную аналитич. омпактификацию, т. е. открытое вложение в такое аналитич. ространство [img: http://localhost:8080/file/041615-119.jpg], что О. п. [img: http://localhost:8080/file/041615-120.jpg] продолжается до голоморфного отображения [img: http://localhost:8080/file/041615-121.jpg] для всякой гладкой компакти-фикации [img: http://localhost:8080/file/041615-122.jpg]. Такая компактификация известна (1983) лишь для случая, когда XG- симметрическая область [9].