Отражения принцип

- обобщение симметрии принципа для гармонич. функций на гармонич. функции от произвольного числа независимых переменных. Формулировки О. п. таковы. 1) Пусть G- область k-мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041616-13.jpg], ограниченная жордановой поверхностью Г (в частности, гладкой или кусочно гладкой поверхностью Г без самопересечений), в состав к-рой входит (k-1)-мерная подобласть [img: http://localhost:8080/file/041616-14.jpg] - мерной гиперплоскости L. Если функция [img: http://localhost:8080/file/041616-15.jpg] гармонична в G, непрерывна на [img: http://localhost:8080/file/041616-16.jpg] и всюду на s равна нулю, то [img: http://localhost:8080/file/041616-17.jpg] продолжается как гармонич. функция сквозь а в область G*, симметричную с Gотносительно L, с помощью равенства [img: http://localhost:8080/file/041616-18.jpg] где точки [img: http://localhost:8080/file/041616-19.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041616-20.jpg] симметричны относительно L. 2) Пусть G - область k-меряого евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041616-21.jpg], ограниченная жордановой поверхностью Г, в состав к-рой входит (k -1)-мерная подобласть s (k-1)-мерной сферы S нек-рого радиуса R>0 с центром в нек-рой точке [img: http://localhost:8080/file/041616-22.jpg]. Если U(х 1,...,х k).гармонична в G, непрерывна на [img: http://localhost:8080/file/041616-23.jpg] и всюду на s равна нулю, то [img: http://localhost:8080/file/041616-24.jpg] продолжается как гармонич. функция сквозь sв область G*, симметричную с Gотносительно S (т. е, полученную из G посредством преобразования обратных радиусов - инверсии - относительно сферы S). Это продолжение осуществляется посредством взятого с обратным знаком Кельвина преобразования функции Uотносительно сферы 2, именно: [img: http://localhost:8080/file/041616-25.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041616-26.jpg] При преобразовании обратных радиусов относительно упомянутой сферы 2 точка [img: http://localhost:8080/file/041616-27.jpg] переходит в точку [img: http://localhost:8080/file/041616-28.jpg] в соответствии с равенствами [img: http://localhost:8080/file/041616-29.jpg] так что если [img: http://localhost:8080/file/041616-30.jpg], то Мпринадлежит области G(где Uзадана), и если [img: http://localhost:8080/file/041616-31.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041616-32.jpg]