Оценка статистическая

- функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич. постоянные, а в качестве случайных величин - результаты непосредственных измерений, подверженные случайным ошибкам. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/041617-40.jpg] - независимые одинаково нормально распределенные случайные величины (результаты равноточных измерений, подверженных независимым нормально распределенным случайным ошибкам), то в качестве О. с. для неизвестного среднего значения а (приближенного значения измеряемой физич. постоянной) применяется среднее арифметическое [img: http://localhost:8080/file/041617-41.jpg] О. с. как функция от случайных величин чаще всего задается теми или иными формулами, выбор к-рых определяется требованиями практики. При этом различают оценки точечные и оценки интервальные. Точечные оценки. Точечной оценкой наз. такая О. с., значение к-рой представимо геометрически в виде точки в том же пространстве, что и значения неизвестных параметров (размерность пространства равна числу оцениваемых параметров). Именно точечные О. с. и используются как приближенные значения для неизвестных физич. величин. В дальнейшем для простоты предполагается, что оценке подлежит один единственный параметр; в этом случае точечная О. с. представляет собой функцию от результатов наблюдений, принимающую числовые значения. Точечную О. с. наз. несмещенной, если ее математич. ожидание совпадает с оцениваемой величиной, т. е. если О. с. лишена систематич. ошибки. Среднее арифметическое (1) - несмещенная О. с. для математич. ожидания одинаково распределенных случайных величин Xi (не обязательно нормальных). В то же время выборочная дисперсия [img: http://localhost:8080/file/041617-42.jpg] является смещенной О. с. для дисперсии [img: http://localhost:8080/file/041617-43.jpg], так как [img: http://localhost:8080/file/041617-44.jpg]; в качестве несмещенной О. с. для s2 обычно берут функцию [img: http://localhost:8080/file/041617-45.jpg] См. также Несмещенная оценка. За меру точности несмещенной О. с. а для параметра ачаще всего принимают дисперсию Da. О. с. с наименьшей дисперсией наз. наилучшей. В приведенном примере среднее арифметическое (1) - наилучшая О. с. Однако если распределение вероятностей случайных величин Xi отлично от нормального, то О. с. (1) может и не быть наилучшей. Напр., если результаты наблюдений Х i распределены равномерно в интервале (b, с), то наилучшей О. с. для математич. ожидания а=(b+с)/2 будет полусумма крайних значений [img: http://localhost:8080/file/041617-46.jpg] (3) В качестве характеристики для сравнения точности различных О. с. применяют эффективность - отношение дисперсий наилучшей оценки и данной несмещенной оценки. Напр., если результаты наблюдений Х i распределены равномерно, то дисперсии оценок (1) и (3) выражаются формулами [img: http://localhost:8080/file/041617-47.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041617-48.jpg] (4) Так как оценка (3) наилучшая, то эффективность оценки (1) в данном случае есть [img: http://localhost:8080/file/041617-49.jpg] При большом количестве наблюдений побычно требуют, чтобы выбранная О. с. стремилась по вероятности к истинному значению параметра а, т. е. чтобы для всякого e > 0 [img: http://localhost:8080/file/041617-50.jpg] такие О. с. наз. состоятельными (пример состоятельной О. с,- любая несмещенная оценка, дисперсия к-рой при [img: http://localhost:8080/file/041617-51.jpg] стремится к нулю; см. также Состоятельная оценка). Поскольку важную роль при этом играет порядок стремления к пределу, то асимптотически наилучшими являются асимптотически эффективные О. с., то есть такие О. с., для к-рых при [img: http://localhost:8080/file/041617-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041617-53.jpg] Напр., если [img: http://localhost:8080/file/041617-54.jpg] распределены одинаково нормально, то О. с. (2) представляет собой асимптотически эффективную оценку для неизвестного параметра [img: http://localhost:8080/file/041617-55.jpg], так как при [img: http://localhost:8080/file/041617-56.jpg] дисперсия оценки [img: http://localhost:8080/file/041617-57.jpg] и дисперсия наилучшей оценки [img: http://localhost:8080/file/041617-58.jpg] асимптотически эквивалентны: [img: http://localhost:8080/file/041617-59.jpg] и, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/041617-60.jpg] Фундаментальное значение для теории О. с. и ее приложений имеет тот факт, что квадратичное отклонение О. с. для параметра аограничено снизу нек-рой величиной (этой величиной Р. Фишер (R. Fischer) предложил характеризовать количество информации относительно неизвестного параметра a, содержащийся в результатах наблюдений). Напр., если [img: http://localhost:8080/file/041617-61.jpg] независимы и одинаково распределены с плотностью вероятности р(х; а).и если [img: http://localhost:8080/file/041617-62.jpg] - О. с. для нек-рой функции g(a).от параметра а, то в широком классе случаев [img: http://localhost:8080/file/041617-63.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041617-64.jpg] Функцию b(а) наз. смещением, а величину, обратную правой части неравенства (5), наз. количеством информации (по Фишеру) относительно функции g(a), содержащейся в результате наблюдений. В частности, если а - несмещенная О. с. параметра а, то, [img: http://localhost:8080/file/041617-65.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041617-66.jpg] (6) причем количество информации nIa в этом случае пропорционально количеству наблюдений (функцию I(а).наз. количеством информации, содержащейся в одном наблюдении). Основные условия, при к-рых справедливы неравенства (5) и (6), - гладкость оценки акак функции от Xi, а также независимость от параметра амножества тех точек х, где р(х, а)=0. Последнее условие не выполняется, напр., в случае равномерного распределения, и поэтому дисперсия О. с. (3) не удовлетворяет неравенству (6) [согласно (4) эта дисперсия есть величина порядка n-2, в то время как по неравенству (6) она не может иметь порядок малости выше, чем п -1]. Неравенства (5) и (6) справедливы и для дискретно распределенных случайных величин Xi нужно лишь в определении информации I(а).плотность р(х; а).заменить вероятностью события {Х=х}. Если дисперсия несмещенной О. с. a* для параметра асовпадает с правой частью неравенства (6), то [img: http://localhost:8080/file/041617-67.jpg] - наилучшая оценка. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: дисперсия наилучшей О. с. может превышать [img: http://localhost:8080/file/041617-68.jpg]. Однако если [img: http://localhost:8080/file/041617-69.jpg], то дисперсия наилучшей оценки [img: http://localhost:8080/file/041617-70.jpg] асимптотически эквивалентна правой части (6), т. е. [img: http://localhost:8080/file/041617-71.jpg]. Таким образом, с помощью количества информации (по Фишеру) можно определить асимптотич. эффективность несмещенной О. с. а, полагая [img: http://localhost:8080/file/041617-72.jpg] (7) Особенно плодотворным информационный подход к теории О. с. сказывается тогда, когда плотность (в дискретном случае - вероятность) совместного распределения случайных величин [img: http://localhost:8080/file/041617-73.jpg] пред-ставима в виде произведения двух функций h(x1,х 2,...,х п).[у(х 1, х 2,..., х n);а], из к-рых первая не зависит от а, а вторая представляет собой плотность распреде-деления нек-рой случайной величины Z=y(X1, Х 2,..., Х п), наз. достаточной статистикой или исчерпывающей статистикой. Один из наиболее распространенных методов нахождения точечных О. с.- моментов метод. Согласно этому методу, теоретич. распределению, зависящему от неизвестных параметров, ставят в соответствие дискретное выборочное распределение, к-рое определяется результатами наблюдений Xi и представляет собой распределение вероятностей воображаемой случайной величины, принимающей значения [img: http://localhost:8080/file/041617-74.jpg] с одинаковыми вероятностями, равными 1/n (выборочное распределение можно рассматривать как точечную О. с. для теоретич. распределения). В качестве О. с. для моментов теоретич. распределения принимают соответствующие моменты выборочного распределения; напр., для математич. ожидания аи дисперсии s2 метод моментов дает следующие О. с.: выборочное среднее (1) и выборочную дисперсию (2). Неизвестные параметры обычно выражаются (точно или приближенно) в виде функций от нескольких моментов теоретич. распределения. Заменяя в этих функциях теоретич. моменты выборочными, получают искомые О. с. Этот метод, часто приводящий на практике к сравнительно простым вычислениям, дает, как правило, О. с. невысокой асимптотической эффективности (см. выше пример оценки математического ожидания равномерного распределения). Другой метод нахождения О. с., более совершенный с теоретич. точки зрения,- максимального правдоподобия метод, или наибольшего правдоподобия метод. Согласно этому методу, рассматривают функцию правдоподобия L(а), к-рая представляет собой функцию неизвестного параметра аи получается в результате замены в плотности совместного распределения [img: http://localhost:8080/file/041617-75.jpg] аргументов xi самими случайными величинами Xi; если Xi- независимы и одинаково распределены с плотностью вероятности р(x; а), то [img: http://localhost:8080/file/041617-76.jpg] (если Xi распределены дискретно, то в определении функции правдоподобия Lследует плотности заменить вероятностями событий [img: http://localhost:8080/file/041617-77.jpg]). В качестве О. с. максимального правдоподобия для неизвестного параметра апринимают такую величину a, для к-рой L(a) достигает наибольшего значения (при этом часто вместо Lрассматривают т. н. логарифмическую функцию правдоподобия [img: http://localhost:8080/file/041617-78.jpg]; в силу монотонности логарифма точки максимумов функций L(a).и l(a) совпадают). Примерами О. с. максимального правдоподобия являются оценки по наименьших квадратов методу. Основное достоинство О. с. максимального правдоподобия заключается в том, что при нек-рых общих условиях эти оценки состоятельны, асимптотически эффективны и распределены приближенно нормально. Перечисленные свойства означают, что если a есть О. с. максимального правдоподобия, то при [img: http://localhost:8080/file/041617-79.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041617-80.jpg] (если Xнезависимы, то [img: http://localhost:8080/file/041617-81.jpg]). Таким образом, для функции распределения нормированной О. с. [img: http://localhost:8080/file/041617-82.jpg] имеет место предельное соотношение [img: http://localhost:8080/file/041617-83.jpg] (8) Преимущества О. с. максимального правдоподобия оправдывают вычислительную работу по отысканию максимума функции L(или l). В нек-рых случаях вычислительная работа существенно сокращается благодаря следующим свойствам: во-первых, если a* - такая О. с., для к-рой неравенство (6) обращается в равенство, то О. с. максимального правдоподобия единственна и совпадает с a*, во-вторых, если существует достаточная статистика Z, то О. с. максимального правдоподобия есть функция Z. Пусть, напр., [img: http://localhost:8080/file/041617-84.jpg] независимы и распределены одинаково нормально так, что [img: http://localhost:8080/file/041617-85.jpg] поэтому [img: http://localhost:8080/file/041617-86.jpg] Координаты а= а 0 и s= s0 точки максимума функции I(а,s).удовлетворяют системе уравнений [img: http://localhost:8080/file/041617-87.jpg] Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/041617-88.jpg] и, значит, в данном случае О. с. (1) и (2) - оценки максимального правдоподобия, причем [img: http://localhost:8080/file/041617-89.jpg] - наилучшая О. с. параметра а, распределенная нормально ([img: http://localhost:8080/file/041617-90.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041617-91.jpg]), а [img: http://localhost:8080/file/041617-92.jpg] - асимптотически эффективная О. с. параметра s2, распределенная при больших пприближенно нормально ([img: http://localhost:8080/file/041617-93.jpg]). Обе оценки представляют собой независимые достаточные статистики. Еще один пример, в к-ром [img: http://localhost:8080/file/041617-94.jpg] Эта плотность удовлетворительно описывает распределение одной из координат частиц, достигших плоского экрана и вылетевших из точки, расположенной вне экрана (a - координата проекции источника на экран- предполагается неизвестной). Для указанного распределения математич. ожидание не существует, т. к. соответствующий интеграл расходится. Поэтому отыскание О. с. для аметодом моментов невозможно. Формальное применение в качестве О. с. среднего арифметического (1) лишено смысла, т. к. [img: http://localhost:8080/file/041617-95.jpg] распределено в данном случае с той же плотностью р(х; a), что и каждый единичный результат наблюдений. Для оценки аможно воспользоваться тем обстоятельством, что рассматриваемое распределение симметрично относительно точки х=а и, значит, а - медиана теоретич. распределения. Несколько видоизменяя метод моментов, в качестве О. с. для апринимают т. н. выборочную медиану m, к-рая при [img: http://localhost:8080/file/041617-96.jpg] является несмещенной О. с. для a, причем если пвелико, то m распределена приближенно нормально с дисперсией [img: http://localhost:8080/file/041617-97.jpg] В то же время [img: http://localhost:8080/file/041617-98.jpg] поэтому [img: http://localhost:8080/file/041617-99.jpg] и, значит, согласно (7) асимптотич. эффективность [img: http://localhost:8080/file/041617-100.jpg] равна [img: http://localhost:8080/file/041617-101.jpg]. Таким образом, для того чтобы выборочная медиана m была столь же точной О. с. для a, как и оценка наибольшего правдоподобия a, нужно количество наблюдений увеличить на 25%. Если затраты на эксперимент велики, то для определения аследует воспользоваться О. с. а, к-рая в данном случае определяется как корень уравнения [img: http://localhost:8080/file/041617-102.jpg] В качестве первого приближения выбирают a0=u и далее решают это уравнение последовательными приближениями по формуле [img: http://localhost:8080/file/041617-103.jpg] См. также Точечная оценка. Интервальные оценки. Интервальной оценкой наз. такая О. с., к-рая геометрически представима в виде множества точек, принадлежащих пространству параметров. Интервальную О. с. можно рассматривать как множество точечных О. с. Это множество зависит от результатов наблюдений и, следовательно, оно случайно; поэтому каждой интервальной О. с. ставится в соответствие вероятность, в к-рой эта оценка "накроет" неизвестную параметрич. точку. Такая вероятность, вообще говоря, зависит от неизвестных параметров; поэтому в качестве характеристики достоверности интервальной О. с. принимают коэффициент доверия - наименьшее возможное значение указанной вероятности. Содержательные стати-стич. выводы позволяют получать лишь те интервальные О. с., коэффициент доверия к-рых близок к единице. Если оценивается один параметр a, то интервальной О. с. обычно является нек-рый интервал (b, g).(т. н. доверительный интервал), конечные точки к-рого (b и g представляют собой функции от результатов наблюдений; коэффициент доверия со в данном случае определяется как нижняя грань вероятности одновременного осуществления двух событий {b < a} и (g > a}, вычисляемая по всем возможным значениям параметра a: [img: http://localhost:8080/file/041617-104.jpg] Если середину такого интервала [img: http://localhost:8080/file/041617-105.jpg] принять за точечную О. с. для параметра a, то с вероятностью не менее чем со можно утверждать, что абсолютная погрешность этой О. с. не превышает половины длины интервала [img: http://localhost:8080/file/041617-106.jpg]. Иными словами, если руководствоваться указанным правилом оценки абсолютной погрешности, то ошибочное заключение будет получаться в среднем менее чем в [img: http://localhost:8080/file/041617-107.jpg] случаев. При фиксированном коэффициенте доверия со наиболее выгодны кратчайшие доверительные интервалы, для к-рых математич. ожидание длины [img: http://localhost:8080/file/041617-108.jpg] достигает наименьшего значения. Если распределение случайных величин Xi зависит только от одного неизвестного параметра а, то построение доверительного интервала обычно осуществляется с помощью какой-либо точечной О. с. а. Для большинства практически интересных случаев функция распределения [img: http://localhost:8080/file/041617-109.jpg] разумно выбранной О. с. а монотонно зависит от параметра а. В этих условиях для отыскания интервальной О. с. следует в F(х; а)подставить х=a. и определить корни а 1= a1(a, w) и а 2=a2(a, w) уравнений [img: http://localhost:8080/file/041618-1.jpg] (9) где [img: http://localhost:8080/file/041618-2.jpg] [для непрерывных распределений [img: http://localhost:8080/file/041618-3.jpg] ]. Точки с координатами [img: http://localhost:8080/file/041618-4.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041618-5.jpg] ограничивают доверительный интервал с коэффициентом доверия w. Разумеется, интервал, построенный столь простым способом, во многих случаях может отличаться от оптимального (кратчайшего). Однако если a - асимптотически эффективная О. с. для a, то при достаточно большом количестве наблюдений такая интервальная О. с. практически несущественно отличается от оптимальной. В частности, это верно для О. с. наибольшего правдоподобия, т. к. она распределена асимптотически нормально (см. (8)). В тех случаях, когда решение уравнений (9) затруднительно, интервальную О. с. вычисляют приближенно с помощью точечной О. с. максимального правдоподобия и соотношения (8): [img: http://localhost:8080/file/041618-6.jpg] где х - корень уравнения [img: http://localhost:8080/file/041618-7.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/041618-8.jpg], то истинный коэффициент доверия интервальной оценки [img: http://localhost:8080/file/041618-9.jpg] стремится к w. В более общем случае распределение результатов наблюдений Xi - зависит от нескольких параметров а, b,.... В этих условиях указанные выше правила построения доверительных интервалов часто оказываются неприменимыми, т. к. распределение точечной О. с. a, зависит, как правило, не только от a, но и от остальных параметров. Однако в практически интересных случаях О. с. a можно заменить такой функцией от результатов наблюдений Xi и неизвестного параметра я, распределение к-рой не зависит (или "почти не зависит") от всех неизвестных параметров. Примером такой функции может служить нормированная О. с. максимального правдоподобия [img: http://localhost:8080/file/041618-10.jpg]; если в знаменателе аргументы a, b,... заменить их оценками максимального правдоподобия a, b,..., то предельное распределение останется тем же самым, что и в формуле (8). Поэтому приближенные доверительные интервалы для каждого параметра в отдельности можно строить так же, как и в случае одного параметра. Как уже отмечалось выше, если [img: http://localhost:8080/file/041618-11.jpg],... - независимые и одинаково нормально распределенные случайные величины, то [img: http://localhost:8080/file/041618-12.jpg] и s2 - наилучшие О. с. для параметров a и s2 соответственно. Функция распределения О. с. выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041618-13.jpg] и, следовательно, она зависит не только от a, но также и от s. В то же время распределение т. н. отношения Стьюдента [img: http://localhost:8080/file/041618-14.jpg] не зависит ни от a, ни от s, причем [img: http://localhost:8080/file/041618-15.jpg] где постоянная [img: http://localhost:8080/file/041618-16.jpg] выбирается так, чтобы выполнялось равенство [img: http://localhost:8080/file/041618-17.jpg]. Таким образом, доверительному интервалу [img: http://localhost:8080/file/041618-18.jpg] соответствует коэффициент доверия [img: http://localhost:8080/file/041618-19.jpg] Распределение оценки s2 зависит лишь от s2, причем функция распределения О. с. s2 аадается формулой [img: http://localhost:8080/file/041618-20.jpg] где постоянная Dn-1 определяется условием [img: http://localhost:8080/file/041618-21.jpg] (так наз. [img: http://localhost:8080/file/041618-22.jpg] -распределением с п-1степенями свободы). Так как с ростом s вероятность [img: http://localhost:8080/file/041618-23.jpg] монотонно возрастает, то для построения интервальной О. с. применимо правило (9). Таким образом, если х 1 и x2 - корни уравнений [img: http://localhost:8080/file/041618-24.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041618-25.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/041618-26.jpg], то доверительному интервалу [img: http://localhost:8080/file/041618-27.jpg] соответствует коэффициент доверия w. Отсюда, в частности, следует, что доверительный интервал для относительной ошибки задается неравенствами [img: http://localhost:8080/file/041618-28.jpg] Подробные таблицы функций распределения Стьюдента [img: http://localhost:8080/file/041618-29.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041618-30.jpg] -распределения [img: http://localhost:8080/file/041618-31.jpg] имеются в большинстве руководств по математич. статистике. До сих пор предполагалось, что функция распределения результатов наблюдений известна с точностью до значений нескольких параметров. Однако в приложениях часто встречается случай, когда вид функции распределения неизвестен. В этой обстановке для оценки параметров могут оказаться полезными т. н. непараметрические методы статистики (т. е. такие методы, к-рые не зависят от исходного распределения вероятностей). Пусть, напр., требуется оценить медиану ттеоретич. непрерывного распределения независимых случайных величин X1, Х 2,..., Х п (для симметричных распределений медиана совпадает с математич. ожиданием, если, конечно, оно существует). Пусть Y1 [img: http://localhost:8080/file/041618-32.jpg] - те же величины Xi но расположенные в порядке возрастания. Тогда, если k - целое число, удовлетворяющее неравенствам [img: http://localhost:8080/file/041618-33.jpg] n/2, то [img: http://localhost:8080/file/041618-34.jpg] Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/041618-35.jpg] - интервальная О. с. для тс коэффициентом доверия w=wn,k. Этот вывод верен при любом непрерывном распределении случайных величин Xi. Выше отмечалось, что выборочное распределение - точечная О. с. для неизвестного теоретич. распределения. Более того, функция Выборочного распределения Fn(x).- несмещенная О. с. для функции теоретич. распределения F(x). При этом, как показал А. Н. Колмогоров, распределение статистики [img: http://localhost:8080/file/041618-36.jpg] не зависит от неизвестного теоретич. распределения и при [img: http://localhost:8080/file/041618-37.jpg] стремится к предельному распределению К(у), к-рое наз. распределением Колмогорова. Таким образом, если у - решение уравнения К(y)=w, то с вероятностью w можно утверждать, что график функции теоретич. распределения F(у).целиком "покрывается" полосой, заключенной между графиками функций [img: http://localhost:8080/file/041618-38.jpg] (при [img: http://localhost:8080/file/041618-39.jpg] различие допредельного и предельного распределений статистики ln практически несущественно). Такую интервальную О. с. наз. доверительной зоной. См. также Интервальная оценка. Статистические оценки в теории ошибок. Теория ошибок - раздел математич: статистики, посвященный численному определению неизвестных величин по результатам измерений. В силу случайного характера ошибок измерений и, быть может, случайной природы самого изучаемого явления не все такие результаты равноправны: при повторных измерениях нек-рые из них встречаются чаще, другие - реже. В основе теории ошибок лежит математич. модель, согласно к-рой до опыта совокупность всех мыслимых результатов измерения трактуется как множество значений нек-рой случайной величины. Поэтому важную роль приобретает теория О. с. Выводы теории ошибок носят статистич. характер. Смысл и содержание таких выводов (как, впрочем, и выводов теории О. Полагая результат измерения Xслучайной величиной, различают три основных типа ошибок измерений: систематические, случайные и грубые (качественные описания таких ошибок даны в ст. Ошибок теория). При этом ошибкой измерения неизвестной величины аназ. разность X-а, математич. ожидание этой разности E(Х-а)=b наз. систематической ошибкой (если b=0, то говорят, что измерения лишены систематич. ошибок), а разность d=Х- а-b наз. случайной ошибкой [img: http://localhost:8080/file/041618-40.jpg]. Таким образом, если приведено пнезависимых измерений величины a, то их результаты можно записать в виде равенств [img: http://localhost:8080/file/041618-41.jpg] (10) где аи b- постоянные, a di - случайные величины. В более общем случае [img: http://localhost:8080/file/041618-42.jpg] (11) где bi - не зависящие от di случайные величины, к-рые равны нулю с вероятностью, весьма близкой к единице (поэтому всякое другое значение [img: http://localhost:8080/file/041618-43.jpg] маловероятно). Величину bi наз. грубой ошибкой. Задача оценки (и устранения) систематич. ошибки обычно выходит за рамки математич. статистики. Исключения составляют т. н. метод эталонов, согласно к-рому для оценки bпроизводят серию измерений известной величины а(в этом методе b - оцениваемая величина и а - известная систематич. ошибка), а также дисперсионный анализ, позволяющий оценивать систематич. расхождения между несколькими сериями измерений. Основная задача теории ошибок - отыскивание О. с. для неизвестной величины аи оценка точности измерений. Если систематич. ошибка устранена (b=0) и наблюдения грубых ошибок не содержат, то согласно (10) Х i=a+di и, значит, в этом случае задача оценки асводится к отысканию в том или ином смысле оптимальной О. с. для математич. ожидания одинаково распределенных случайных величин Xi. Как было показано в предыдущих разделах, вид такой О. с. (точечной или интервальной) существенно зависит от закона распределения случайных ошибок. Если этот закон известен с точностью до нескольких неизвестных параметров, то для оценки, а также для оценки аможно применять, напр., метод максимального правдоподобия; в противном случае следует сначала по результатам наблюдений Х i найти О. с. для неизвестной функции распределения случайных ошибок di ("непараметрическая" интервальная О. с. такой функции указана выше). В практич. работе часто довольствуются двумя О. с. [img: http://localhost:8080/file/041618-44.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041618-45.jpg] (см. (1) и (2)). Если di распределены одинаково нормально, то эти О. с. наилучшие; в других случаях эти оценки могут оказаться малоэффективными. Наличие грубых ошибок усложняет задачу оценки параметра а. Обычно доля наблюдений, в к-рых [img: http://localhost:8080/file/041618-46.jpg] бывает невелика, а математич. ожидание ненулевых |bi| значительно превышает [img: http://localhost:8080/file/041618-47.jpg] (грубые ошибки возникают в результате случайного просчета, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п.). Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, часто бывают хорошо заметны, т. к. они сильно отличаются от других результатов измерений. В этих условиях наиболее целесообразный способ выявления (и устранения) грубых ошибок - непосредственный анализ измерений, тщательная проверка неизменности условий всех экспериментов, запись результатов "в две руки" и т. д. Статистич. методы выявления грубых ошибок следует применять лишь в сомнительных случаях. Простейший пример таких методов - статистпч. выявление одного резко выделяющегося наблюдения, когда подозрительным может оказаться либо Y1=minX1, либо Y п=mахХ i (предполагается, что в равенствах (11) b=0 и закон распределения величин di известен). Для того чтобы выяснить, обосновано ли предположение о наличии одной грубой ошибки, для пары Y1, Yn вычисляют совместную интервальную О. с. (доверительную область), полагая все bi равными нулю. Если эта О. с. "накрывает" точку с координатами (Y1, Yn), то подозрение о наличии грубой ошибки следует считать статистически необоснованным; в противном случае гипотезу о присутствии грубой ошибки надо признать подтвердившейся (при этом обычно забракованное наблюдение отбрасывают, т. к. сколько-нибудь надежно оценить величину грубой ошибки по одному наблюдению статистически не представляется возможным). Пусть, напр., анеизвестно, b=0 и di независимы и распределены одинаково нормально (дисперсия неизвестна). Если все bi=0, то распределение случайной величины [img: http://localhost:8080/file/041618-48.jpg] но зависит от неизвестных параметров (О. с. Xи [img: http://localhost:8080/file/041618-49.jpg] вычисляются по всем пнаблюдениям согласно формулам (1) и (2)). Для больших значений [img: http://localhost:8080/file/041618-50.jpg] где wr (t) -функция распределения Стьюдента, определенная выше. [img: http://localhost:8080/file/041618-51.jpg] (12) Таким образом, с коэффициентом доверия можно утверждать, что при отсутствии грубой ошибки выполняется неравенство Z< zили, что то же самое, [img: http://localhost:8080/file/041618-52.jpg] (Погрешность оценки коэффициента доверия по формуле (12) не превышает w2/2.) Поэтому если все результаты измерений Xi лежат в пределах [img: http://localhost:8080/file/041618-53.jpg] то нет оснований считать какое-нибудь измерение содержащим грубую ошибку.