Ошибок теория

- раздел математич. статистики, посвященный построению уточненных выводов о численных значениях приближенно измеренных, величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, т. О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Оценка статистическая).неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и установление грубых ошибок. Пусть в результате пнезависимых равноточных измерений нек-рой неизвестной величины m, получены значения Y1, Y2,..., Yn. Разности [img: http://localhost:8080/file/041618-54.jpg] наз. истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все di трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d1,..., dn. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределенность: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределенные случайные величины. При этом математич. ожидание истинных ошибок [img: http://localhost:8080/file/041618-55.jpg] наз. систематической ошибкой, а разности d1-b,...,dn-b - случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематич. ошибки означает, что b=0 и в этой ситуации d1,..., dn суть случайные ошибки. Величину [img: http://localhost:8080/file/041618-56.jpg], где s - квадратичное отклонение, наз. мерой точности (при наличии систематич. ошибки мера точности выражается отношением [img: http://localhost:8080/file/041618-57.jpg]. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерении. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для нек-рых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины и обычно берут арифметич. среднее из результатов измерений [img: http://localhost:8080/file/041618-58.jpg] а разности [img: http://localhost:8080/file/041618-59.jpg] наз. кажущимися ошибками. Выбор [img: http://localhost:8080/file/041618-60.jpg] в качестве оценки для m основан на том, что при достаточно большом числе га равноточных измерений, лишенных систематич. ошибки, оценки [img: http://localhost:8080/file/041618-61.jpg] с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины m (см. Больших чисел закон). оценка [img: http://localhost:8080/file/041618-62.jpg] лишена систематич. ошибки (оценки с таким свойством наз. несмещенными), дисперсия оценки есть [img: http://localhost:8080/file/041618-63.jpg] Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки di подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты т. н. предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина [img: http://localhost:8080/file/041618-64.jpg] имеет мало отличающееся от нормального распределение с математич. ожиданием m и дисперсией s2/п. Если распределения di в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для m, напр. медианы, не меньше [img: http://localhost:8080/file/041618-65.jpg]. Если же распределение di отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места (см. пример в ст. Рао - Крамера неравенство). Если дисперсия s2 отдельных измерений заранее неизвестна, то для ее оценки пользуются величиной [img: http://localhost:8080/file/041618-66.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/041618-67.jpg], то есть s2- несмещенная оценка для s2). Если случайные ошибки di имеют нормальное распределение, то отношение [img: http://localhost:8080/file/041618-68.jpg] подчиняется Стъюдента распределению с п-1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближенного равенства [img: http://localhost:8080/file/041618-69.jpg] (см. Наименьших квадратов метод). Величина (п-1)s2/s2 при тех же предположениях имеет "хи-квадрагп" распределение с n-1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближенного равенства [img: http://localhost:8080/file/041618-70.jpg]. Можно показать, что относительная погрешность не будет превышать числа qс вероятностью [img: http://localhost:8080/file/041618-71.jpg] где F(z, п-1) - функция c2 -распределения [img: http://localhost:8080/file/041618-72.jpg] Если нек-рые измерения содержат грубые ошибки, то предыдущие правила оценки m и s дадут искаженные результаты. Поэтому очень важно уметь отличать измерения, содержащие грубые ошибки, от измерений, подверженных лишь случайным ошибкам di. Для случая, когда di независимы и имеют одинаковое нормальное распределение, наиболее совершенный способ выявления измерений, содержащих грубые ошибки, предложен Н. В. Смирновым [3].