Параболическая подалгебра

подалгебра конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041701-36.jpg] над алгебраически замкнутым полем, содержащая какую-либо подалгебру Бореля, т. е. максимальную разрешимую подалгебру алгебры [img: http://localhost:8080/file/041701-37.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/041701-38.jpg] - конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k, то ее подалгебра [img: http://localhost:8080/file/041701-39.jpg] наз. П. п., если [img: http://localhost:8080/file/041701-40.jpg] - П. п. в [img: http://localhost:8080/file/041701-41.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041701-42.jpg] - алгебраич. замыкание поля k. Если G - неприводимая линейная алгебраич. группа над полем характеристики О и [img: http://localhost:8080/file/041701-43.jpg] - ее алгебра Ли, то подалгебра [img: http://localhost:8080/file/041701-44.jpg], тогда и только тогда является П. п. в [img: http://localhost:8080/file/041701-45.jpg], когда она совпадает с алгеброй Ли нек-рой параболической подгруппы группы G. Примерами П. п. в алгебре Ли всех квадратных матриц порядка пнад полем kявляются подалгебры вида [img: http://localhost:8080/file/041701-46.jpg] (m= (m1, m2,..., ms) - произвольный набор натуральных чисел, сумма к-рых равна п), где алгебра [img: http://localhost:8080/file/041701-47.jpg] состоит из всех верхних треугольных блочных матриц, у к-рых диагональные блоки являются квадратными матрицами порядков ml, m2,..., ms. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041701-48.jpg] - редуктивная конечномерная алгебра Ли над полем kхарактеристики 0, f - максимальная диагонализируемая над kподалгебра в [img: http://localhost:8080/file/041701-49.jpg], R - система k-корней алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041701-50.jpg] относительно f, D - базис (множество- простых корней) системы R и [img: http://localhost:8080/file/041701-51.jpg] - группа элементарных автоморфизмов алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041701-52.jpg], т. е. группа, порожденная автоморфизмами вида exp ad x, где х - нильпотентный элемент алгебры [img: http://localhost:8080/file/041701-53.jpg]. Тогда всякая П. п. алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041701-54.jpg] переводится нек-рым автоморфизмом из группы [img: http://localhost:8080/file/041701-55.jpg] в одну из стандартных параболических подалгебр вида [img: http://localhost:8080/file/041701-56.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041701-57.jpg] - централизатор подалгебры f в [img: http://localhost:8080/file/041701-58.jpg] - корневое подпространство алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041701-59.jpg], отвечающее корню [img: http://localhost:8080/file/041701-60.jpg] - некоторое произвольное подмножество множества D, а П(Ф) - множество тех корней из R, в разложении которых по простым корням из базиса D корни, принадлежащие множеству Ф, входят только с неотрицательными коэффициентами. Таким образом, число классов П. п., сопряженных относительно [img: http://localhost:8080/file/041701-61.jpg], равно 2r, где r=|D| есть k-ранг полупростой алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041701-62.jpg] '. При этом если [img: http://localhost:8080/file/041701-63.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041701-64.jpg]. В частности, [img: http://localhost:8080/file/041701-65.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/041701-66.jpg] - минимальная П. п. в [img: http://localhost:8080/file/041701-67.jpg]. Максимальными П. п. исчерпываются все нередуктивные максимальные подалгебры конечномерных редуктивных алгебр Ли над полем характеристики 0 (см. [2], [3], [5]).