Параболическая подгруппа

1) П. п. линейной алгебраич. группы G, определенной над нолем k,- замкнутая в Зариского топологии, подгруппа [img: http://localhost:8080/file/041701-68.jpg] такая, что факторпространство G/P является проективным алгебраич. многообразием. Подгруппа [img: http://localhost:8080/file/041702-1.jpg] тогда и только тогда является П. п., когда она содержит какую-нибудь Бореля подгруппу группы G. Параболической подгруппой группы Gk, k- рациональных точек группы G наз. подгруппа [img: http://localhost:8080/file/041702-2.jpg], являющаяся группой k-рациональ-ных точек нек-рой П. п. Рв G и плотная в Рв топологии Зариского. Если chark=0 и [img: http://localhost:8080/file/041702-3.jpg] - алгебра Ли группы G, то замкнутая подгруппа [img: http://localhost:8080/file/041702-4.jpg] тогда и только тогда является П. п., когда ее алгебра Ли является параболической подалгеброй в [img: http://localhost:8080/file/041702-5.jpg]. Пусть G - связная редуктивная линейная алгебраич. группа. Минимальные k-замкнутые (т. е. определенные над k).П. п. играют в теории таких групп для произвольного основного поля kту же роль, что подгруппы Бореля для алгебраически замкнутого поля k(см. [1]). В частности, любые две минимальные k-замкнутые П. п. группы G сопряжены над k. Если две k-замкнутые П. п. группы G сопряжены над каким-нибудь расширением поля k, то они сопряжены и над k. Множество классов сопряженных П. п. (соответственно множество классов сопряженных k-замкнутых П. п.) группы G состоит из 2r (соответственно 2rk) элементов, где r - ранг коммутанта (G, G) группы G, а rk - его k-ранг, равный размерности максимального расщепимого над kтора в (G, G). Точнее, каждый такой класс определяется нек-рым произвольным подмножеством множества простых корней (соответственно простых k-корней) группы G аналогично тому, как каждая параболич. подалгебра редуктивной алгебры Ли сопряжена одной из стандартных подалгебр (см. [2], [4]). Всякая П. п. Ргруппы G связна, совпадает со своим нормализатором и допускает разложение Леви, т. е. может быть представлена в виде полупрямого произведения своего унипотентного радикала и нек-рой k-замкнутой редуктивной подгруппы, наз. подгруппой Лев и группы Р. Любые две подгруппы Леви в П. п. Р сопряжены посредством рационального над kэлемента группы Р. Две П. п. группы G наз. противоположными, если их пересечение является подгруппой Леви в каждой из них. Замкнутая подгруппа группы G тогда и только тогда является П. п., когда она совпадает с нормализатором своего уншютентного радикала. Всякая максимальная замкнутая подгруппа группы G либо является П. п., либо имеет редуктивную связную компоненту единицы (см. [2], [4]). П. п. в группе GLn(k).невырожденных линейных преобразований n-мерного векторного пространства Vнад полем kисчерпываются подгруппами P(v), состоящими из всех автоморфизмов пространства V, которые сохраняют фиксированный флаг типа v= (n1, п 2,..., nt) в V. При этом фактор пространство GLn(k)/P(v).совпадает с многообразием всех флагов типа v в пространстве V. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041702-6.jpg] - замкнутые П. п. допускают следующую геометрич. интерпретацию (см. [5]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/041702-7.jpg] - некомпактная полупростая вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой алгебраич. группы G. Подгруппа группы [img: http://localhost:8080/file/041702-8.jpg] тогда и только тогда является П. п., когда она совпадает с группой движений соответствующего некомпактного симметрич. пространства М, сохраняющих нек-рый k-пучок геодезич. лучей в М(два геодезич. луча в Мсчитаются принадлежащими одному k-пучку, если расстояние между двумя точками, движущимися с одинаковыми постоянными скоростями вдоль этих лучей в бесконечность, стремится к конечному пределу). 2) П. и. системы Титсa (G, В, N, S).- подгруппа группы G, сопряженная подгруппе, содержащей В. Каждая П. п. совпадает со своим нормализатором. Пересечение любых двух П. п. содержит подгруппу группы G, сопряженную с [img: http://localhost:8080/file/041702-9.jpg]. В частности, П. п. системы Титса, связанной с редуктивной линейной алгебраич. группой G,- это то же, что П. п. группы G (см. [3], [4]).