Парабол метод

- метод вычисления корней многочлена [img: http://localhost:8080/file/041701-28.jpg] с комплексными коэффициентами, основанный на интерполяции многочленами 2-й степени. П. м. позволяет найти все корни многочлена без предварительной информации о начальном приближении. Сходимость П. м. установлена лишь эмпирически. Вблизи простого корня скорость сходимости близка к квадратичной. Вычислительная схема П. м. состоит в следующем. По произвольным комплексным числам z0, z1,z2 как узлам интерполяции строится интерполяционный многочлен Лагранжа для Pn(z). Это будет нек-рый многочлен 2-й степени. Находятся оба его корня и за z3 берется ближайший к z2. После этого вместо точек z0, z1, z2 берутся точки z1, z2, z3 и процесс повторяется. Эмпирически установлено, что последовательность z0, z1, z2, z3,..., построенная таким образом, сходится к корню многочлена. Вычисленный корень выделяется, и далее метод применяется к многочлену меньшей степени. Расчетные формулы П. м.: если zi-2, zi-1, zi - исходная тройка чисел i-гo шага, то в обозначениях [img: http://localhost:8080/file/041701-29.jpg] интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041701-30.jpg] Корни L(i)(l).находятся по формуле [img: http://localhost:8080/file/041701-31.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041701-32.jpg] Из двух возможных значений Кберется наименьший по модулю и далее вычисляется [img: http://localhost:8080/file/041701-33.jpg] При реализации описанного процесса на ЭВМ возможно переполнение сверху и снизу при вычислении значения многочлена в точке. Появление больших чисел возможно также при вычислении корней многочлена 2-й степени. Существует ряд приемов, имеющих целью избежать это явление (см. [1], [3]).