Параллелизм абсолютный

поле реперов е=(e1,..., е п).на многообразии. П. а. определяет изоморфизм всех касательных пространств многообразия М, при к-ром отождествляются векторы касательных пространств Т р М и TqM, имеющие одинаковые координаты относительно реперов е р и eq. Это задает на многообразии линейную связность [img: http://localhost:8080/file/041703-68.jpg] с нулевой кривизной. Параллельными полями относительно этой связности являются тензорные ноля, имеющие постоянные координаты относительно поля реперов е (в частности, векторные поля е 1,..., е п параллельны), а операция ковариантного дифференцирования тензорного поля Тпо направлению векторного поля Xсводится к дифференцированию по направлению поля Xкоординат поля Тотносительно е. Обратно, линейная связность [img: http://localhost:8080/file/041703-69.jpg] с нулевой кривизной на односвязном многообразии Мопределяет П. а. е, если задан дополнительно репер е р нек-рого касательного пространства Т р М. П. а. еполучается из репера е р разнесением с помощью параллельного переноса связности [img: http://localhost:8080/file/041703-70.jpg] (параллельный перенос не зависит от выбора пути, соединяющего две данные точки многообразия, если связность имеет нулевую кривизну, а многообразие односвязно). С точки зрения теории G-структур П. а. является {1} - структурой, где {1} - группа, состоящая из одной единицы. Интегрируемость такой структуры означает, что в окрестности любой точки многообразия существует система координат х i, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/041703-71.jpg], i=l,..., п. Для этого необходимо и достаточно, чтобы векторные поля е 1,..., е п попарно коммутировали или, иначе говоря, чтобы тензор кручения [img: http://localhost:8080/file/041703-72.jpg] связности [img: http://localhost:8080/file/041703-73.jpg], задаваемый формулой [img: http://localhost:8080/file/041703-74.jpg], был тождественно равен нулю. П. а. наз. полным, если все векторные поля, имеющие постоянные координаты относительно доля реперов, полны или, что эквивалентно, если связность [img: http://localhost:8080/file/041703-75.jpg] геодезически полна. В интегрируемом случае для этого достаточно полноты векторных полей e1,..., en Полный интегрируемый П. а. на односвязном многообразии Мзадает на Мструктуру аффинного пространства. Более обще, полный П. а. с ковариантно постоянным тензором кручения [img: http://localhost:8080/file/041703-76.jpg] на одно связном многообразии Мс отмеченной точкой задает на M структуру группы Ли со структурными константами [img: http://localhost:8080/file/041703-77.jpg], для к-рой ноля е i образуют базис пространства левоинвариантных полей. Группа автоморфизмов П. а. есть группа Ли, свободно действующая на М. Известны необходимые и достаточные условия того, чтобы две П. а. были локально изоморфны (см. [3]). Они выражаются в терминах тензора кручения и его ковариантных производных.