Параллельное перенесение

изоморфизм слоев над концами х 0 и x1 кусочно гладкой кривой L(x0, x1).базы Мгладкого расслоенного пространства Е, определяемый нек-рой заданной в Е связностью;. в частности, линейный изоморфизм касательных пространств Т Х0 (М). и TX1(M), определяемый вдоль кривой [img: http://localhost:8080/file/041703-94.jpg] нек-рой заданной на М аффинной связностью. Развитие понятия П. п. началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости Е 2, для к-рой Ф. Миндинг (F. Minding, 1837) указал возможность обобщить ее на случай поверхности Мв Е 3 с помощью введенного им понятия развертывания кривой [img: http://localhost:8080/file/041703-95.jpg] на плоскость Е 2. Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Т. Леви-Чивита [1], к-рый, оформляя аналитически П. п. касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай n-мерного риманова пространства (см. Леви-Чивита связность). Г. Вейль [2] положил понятие П. и. касательного вектора в основу определения аффинной связности на гладком многообразии М. Дальнейшие обобщения итого понятия связаны с развитием общей теории связностей. Пусть на гладком многообразии Мзадана аффинная связность с помощью матрицы локальных форм связности: [img: http://localhost:8080/file/041703-96.jpg] Говорят, что вектор [img: http://localhost:8080/file/041703-97.jpg] получен параллельным перенесением из вектора [img: http://localhost:8080/file/041703-98.jpg] вдоль гладкой кривой [img: http://localhost:8080/file/041703-99.jpg], если на Lсуществует гладкое векторное ноле X, соединяющее Х 0 и Х 1, такое, что [img: http://localhost:8080/file/041703-100.jpg], где Y- псле касательного вектора кривой L,a [img: http://localhost:8080/file/041703-101.jpg] - ковариантная производная поля Xотносительно Y, определяемая формулой [img: http://localhost:8080/file/041703-102.jpg] Таким образом, координаты [img: http://localhost:8080/file/041703-103.jpg] поля Xдолжны удовлетворять вдоль Lсистеме дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041703-104.jpg] Из линейности этой системы следует, что П. п. вдоль Lопределяет нек-рый изоморфизм между [img: http://localhost:8080/file/041703-105.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041703-106.jpg]. П. п. вдоль кусочно гладкой кривой определяется как суперпозиция П. п. вдоль ее гладких кусков. Автоморфизмы пространства [img: http://localhost:8080/file/041703-107.jpg], определяемые П. п. вдоль замкнутых кусочно гладких кривых [img: http://localhost:8080/file/041703-108.jpg], образуют линейную голономии группу [img: http://localhost:8080/file/041703-109.jpg]; при этом [img: http://localhost:8080/file/041703-110.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041703-111.jpg] всегда сопряжены между собой. Если [img: http://localhost:8080/file/041703-112.jpg] дискретна, т. е. ее компонента единицы одноэлементна, то говорят об аффинной связности с (локальным) абсолютным параллелизмом векторов, или о (локально) плоской связности. Тогда П. п. при любых x0 и x1 не зависит от выбора линии [img: http://localhost:8080/file/041703-113.jpg] из одного класса гомотопии; для этого необходимо и достаточно равенство нулю тензора кривизны связности. На основе П. п. вектора определяется П. п. ковектора и, вообще, тензора. Говорят, что поле ковектора [img: http://localhost:8080/file/041703-114.jpg] на Lсовершает параллельное перенесение, если для любого векторного поля Xна L, совершающего П. п., функция [img: http://localhost:8080/file/041703-115.jpg] постоянна вдоль L. Вообще, говорят, что поле тензора Т, напр. типа (2, 1), совершает параллельное перенесение вдоль L, если для любых X, Y и Э, совершающих П. п., функция [img: http://localhost:8080/file/041703-116.jpg] постоянна вдоль L. Для этого необходимо и достаточно, чтобы компоненты [img: http://localhost:8080/file/041703-117.jpg] удовлетворяли вдоль Lсистеме дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041703-118.jpg] После введения Э. Картавом [3] пространств проективной и конформной связностей в 1920-х гг. и общей концепции связности на многообразии понятие П. п. получило более общее содержание. В наиболее общем смысле оно понимается теперь при рассмотрении связностей в главных расслоенных пространствах или присоединенных к ним пространствах. Существует способ определения самого понятия связности с помощью понятия П. п., к-рое тогда определяется аксиоматически. Связность, однако, может быть задана горизонтальным распределением или нек-рым другим эквивалентным способом, напр. связности формой. Тогда для каждой кривой L(x0, x1).базы Мопределяются ее горизонтальные поднятия как интегральные кривые горизонтального распределения над L. П. п. наз. тогда отображение, к-рое концам этих понятий в слое над x1 ставит в соответствие их другие концы в слое над х 0. Аналогично определяются понятия группы голономии и (локально) плоской связности; последняя также характеризуется равенством нулю кривизны формы.