Параметрикса метод

- один из методов изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью интегральных уравнений. Пусть в какой-либо области G n -мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041704-48.jpg] рассматривается эллиптич. дифференциальный оператор порядка т [img: http://localhost:8080/file/041704-49.jpg] В равенстве (1) символом [img: http://localhost:8080/file/041704-50.jpg] обозначен мультииндекс [img: http://localhost:8080/file/041704-51.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041704-52.jpg] - неотрицательные целые числа, [img: http://localhost:8080/file/041704-53.jpg], Каждому оператору (1) сопоставляется [img: http://localhost:8080/file/041704-54.jpg] однородный эллиптич. оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-55.jpg] с постоянными коэффициентами, где [img: http://localhost:8080/file/041704-56.jpg] - произвольная фиксирования точка. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041704-57.jpg] обозначает фундаментальное решение оператора [img: http://localhost:8080/file/041704-58.jpg], параметрически зависящее от x0, тогда функция [img: http://localhost:8080/file/041704-59.jpg] наз. параметриксом оператора (1) с особенностью в точке х 0. В частности, для эллиптич. оператора 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041704-60.jpg] в качестве параметрикса с особенностью в точке y может быть взята функция Леви: [img: http://localhost:8080/file/041704-61.jpg] В равенстве (2) [img: http://localhost:8080/file/041704-62.jpg], (у) - определитель матрицы [img: http://localhost:8080/file/041704-63.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041704-64.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041704-65.jpg] - элементы матрицы, обратной к матрице [img: http://localhost:8080/file/041704-66.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/041704-67.jpg] - интегральный оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-68.jpg] действующий на функциях из [img: http://localhost:8080/file/041704-69.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/041704-70.jpg] Поскольку, в силу определения фундаментального решения, [img: http://localhost:8080/file/041704-71.jpg] где I - тождественный оператор, то [img: http://localhost:8080/file/041704-72.jpg] Это равенство означает, что для каждой достаточно гладкой и финитной в области G функции [img: http://localhost:8080/file/041704-73.jpg] справедливо представление [img: http://localhost:8080/file/041704-74.jpg] и, кроме того, если [img: http://localhost:8080/file/041704-75.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/041704-76.jpg] является решением уравнения [img: http://localhost:8080/file/041704-77.jpg] Таким образом, вопрос о локальной разрешимости уравнения [img: http://localhost:8080/file/041704-78.jpg] сводится к вопросу об обратимости оператора [img: http://localhost:8080/file/041704-79.jpg] Если применять оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-80.jpg] к функциям j, к-рые обращаются в нуль вне шара радиуса Rс центром в точке x0, то при достаточно малом R норма оператора [img: http://localhost:8080/file/041704-81.jpg] может быть сделана меньше единицы. Тогда будет существовать оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-82.jpg] и, следовательно, оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-83.jpg], к-рый является обратным к оператору L(x, D). Оператор Еявляется интегральным оператором, ядро к-рого представляет собой фундаментальное решение оператора L(x, D). Параметриксом иногда наз. не только функцию [img: http://localhost:8080/file/041704-84.jpg], но и интегральный оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-85.jpg] с ядром [img: http://localhost:8080/file/041704-86.jpg], определенный равенством (3). В теории псевдодифференциальных операторов вместо оператора [img: http://localhost:8080/file/041704-87.jpg] параметриксом оператора L(x, D).наз. оператор Sтакой, что I-L(x, D)Sи I-SL(x, D).являются интегральными операторами с бесконечно дифференцируемыми ядрами. Если же таким оператором является лишь оператор I-SL (или I-LS), то Sназ. левым (соответственно правым) параметриксом оператора L(x, D). Иначе говоря, оператор Sx0 в равенстве (4) является левым параметриксом, если оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-88.jpg] в этом равенстве имеет бесконечно дифференцируемое ядро. Если у оператора L(x, D).существуют левый параметрикс S' и правый параметрикс S", то каждый из этих операторов является параметриксом. Существование параметрикса доказано для гипоэллиптических псевдодифференциальных операторов (см. [3]).