Параметрических интегральных представлений метод

- метод в геометрич. теории функций комплексного переменного, использующий для решения экстремальных задач в классах функций представление этих классов с помощью интегралов, зависящих от параметров. К таким классам относятся Каратеодори класс, класс однолистных звездообразных в круге функций, класс типично вещественных функций. Функции этих классов имеют параметрич. представление, содержащее интеграл Стилтьеса [img: http://localhost:8080/file/041704-89.jpg] с заданными действительными числами а, bи функцией g(z, t).(ядро класса), [img: http://localhost:8080/file/041704-90.jpg], где М а,b - класс функций, не убывающих на промежутке [ а, b],jm(b)-m(а)=l (m - параметр класса). Для классов функций, имеющих параметрич. представление с помощью интегралов Стилтьеса, получены вариационные формулы, к-рые при решении экстремальных задач в этих классах показывают, что экстремальная функция имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041704-91.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041704-92.jpg], причем указывается значение т(см. [1] гл. 11; [3]). При нахождении областей значений функционалов и систем функционалов на таких классах иногда полезны следующие теоремы. 1) Множество Вточек x=(x1, x2,..., xn) n-мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041704-93.jpg], допускающих представление [img: http://localhost:8080/file/041704-94.jpg] где uk(t) - фиксированные непрерывные на [ а, b]действительные функции и [img: http://localhost:8080/file/041704-95.jpg], совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой R(U).множества Uточек [img: http://localhost:8080/file/041704-96.jpg] (теорема Рисcа). 2) Каждая точка [img: http://localhost:8080/file/041704-97.jpg] может быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/041704-98.jpg] где lj>0, j=1, 2,..., m, [img: http://localhost:8080/file/041704-99.jpg], а если [img: http://localhost:8080/file/041704-100.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041704-101.jpg] (теорема Каратеодори). 3) Для того чтобы существовала, по крайней мере, одна неубывающая функция [img: http://localhost:8080/file/041704-102.jpg], такая, что [img: http://localhost:8080/file/041704-103.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041704-104.jpg] - заданные действительные непрерывные на [ а, b]функции, [img: http://localhost:8080/file/041704-105.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041704-106.jpg] - заданные комплексные числа, необходимо и достаточно, чтобы всякий раз, когда при нек-рых комплексных числах [img: http://localhost:8080/file/041704-107.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041704-108.jpg] имело место также и неравенство [img: http://localhost:8080/file/041704-109.jpg] (теорема Рисса). Приведенные теоремы позволили дать геометрич. и алгебраич. характеристики областей значений систем коэффициентов и отдельных коэффициентов на классах функций, регулярных и имеющих положительную действительную часть в круге (кольце), регулярных и типично вещественных в круге (кольце) и на нек-рых других классах (см. [1] Добавление; [4], [5]).