Парсеваля равенство

- равенство, выражающее квадрат нормы элемента в векторном пространстве со скалярным произведением через квадраты модулей коэффициентов Фурье этого элемента по нек-рой ортогональной системе элементов; так, если X - нормированное сепарабельное векторное пространство со скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/041705-97.jpg] - соответствующая ему норма и [img: http://localhost:8080/file/041705-98.jpg] - ортогональная в Xсистема, [img: http://localhost:8080/file/041705-99.jpg], n=1,2,..., то равенством Парсеваля для элемента [img: http://localhost:8080/file/041705-100.jpg] наз. равенство [img: http://localhost:8080/file/041705-101.jpg] (1) где [img: http://localhost:8080/file/041705-102.jpg], n=1, 2,...,- коэффициенты Фурье элемента хпо системе [img: http://localhost:8080/file/041705-103.jpg]. Если эта система [img: http://localhost:8080/file/041705-104.jpg] ортонормирования, то П. р. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041705-105.jpg] Выполнение П. р. для данного элемента [img: http://localhost:8080/file/041705-106.jpg] является необходимым и достаточным условием того, чтобы ряд Фурье этого элемента по ортогональной системе [img: http://localhost:8080/file/041705-107.jpg] сходился к самому элементу хпо норме пространства X. Выполнение П. р. для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/041705-108.jpg] является необходимым и достаточным условием для того, чтобы ортогональная система [img: http://localhost:8080/file/041705-109.jpg] была полной системой в X. Отсюда следует, в частности: если X - сепарабельное гильбертово пространство и [img: http://localhost:8080/file/041705-110.jpg] - его ортонормированный базис, то П. р. по системе [img: http://localhost:8080/file/041705-111.jpg] выполняется для каждого элемента [img: http://localhost:8080/file/041705-112.jpg]; если X- сепарабельное гильбертово пространство, [img: http://localhost:8080/file/041705-113.jpg] - ортонормированный базис в X, [img: http://localhost:8080/file/041705-114.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041705-115.jpg] - коэффициенты Фурье соответственно элементов х и у, то справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/041705-116.jpg] (2) наз. обобщенным равенством Парсеваля. В достаточно законченном виде вопрос о полноте систем функций, являющихся собственными функциями дифференциальных операторов, был изучен В. А. Стендовым [1]. П. р. обобщается и на случай несепарабельных гильбертовых пространств: если [img: http://localhost:8080/file/041705-117.jpg] нек-рое множество индексов), является полной ортонормированной системой гильбертова пространства X, то для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/041705-118.jpg] справедливо П. р. [img: http://localhost:8080/file/041705-119.jpg] причем сумма в правой части равенства понимается как [img: http://localhost:8080/file/041705-120.jpg] где верхняя грань берется по всевозможным конечным подмножествам [img: http://localhost:8080/file/041705-121.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/041705-122.jpg] В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041705-123.jpg] состоит из действительных функций, квадрат к-рых интегрируем по Лебегу на отрезке [img: http://localhost:8080/file/041705-124.jpg], в качестве полной ортогональной системы взята тригонометрич. система функций и [img: http://localhost:8080/file/041705-125.jpg] равенство (1) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041705-126.jpg] и наз. классическим равенством Парсеваля; оно было указано М. Парсевалем (М. Parseval, 1805). Если [img: http://localhost:8080/file/041705-127.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041705-128.jpg] то равенство, аналогичное формуле (2), выглядит следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/041705-129.jpg] (3) Классы К т К' действительных функций, определенных на отрезке [img: http://localhost:8080/file/041705-130.jpg], такие, что для всех [img: http://localhost:8080/file/041705-131.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041705-132.jpg] имеет место обобщенное П. р. (3), наз. дополнительными. Примером дополнительных классов являются пространства [img: http://localhost:8080/file/041705-133.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041705-134.jpg]