Переменных направлений метод

- итерационный метод решения систем линейных или нелинейных уравнений, возникающих в разностных или проекционно-разностных методах при приближенном решении, напр., краевых задач для уравнений с частными производными эллиптич. типа. Пусть, напр., имеются две пространственные переменные и последовательности квадратных сеток wh с шагом h>0 и узлами [img: http://localhost:8080/file/041707-40.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041707-41.jpg] - вектор с целочисленными компонентами. Пусть Wh - множество узлов wh, в к-рых ищется решение разностной или проекционно-разностной задачи, записанной в виде операторного уравнения [img: http://localhost:8080/file/041707-42.jpg] в евклидовом пространстве Н h, отождествляемом с пространством функций, заданных в узлах Wh; размерность Hh совпадает с числом точек Nh, из Wh. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041707-43.jpg] (1) - линейные операторы, отображающие Hh в Н h,. Среди операторов (1) имеются операторы, у к-рых ненулевые коэффициенты ai, j в (1) соответствуют лишь векторам сдвига [img: http://localhost:8080/file/041707-44.jpg] ' с j2=0. Такие операторы наз. одномерными операторами, действующими по X), и обозначаются [img: http://localhost:8080/file/041707-45.jpg]; аналогично для векторов сдвига с j1=0 определяются и одномерные операторы [img: http://localhost:8080/file/041707-46.jpg], действующие по х 2. Системы уравнений [img: http://localhost:8080/file/041707-47.jpg] расщепляются на отдельные подсистемы, каждая из к-рых связывает лишь значения [img: http://localhost:8080/file/041707-48.jpg] в узлах, лежащих на отдельных горизонтальных (для [img: http://localhost:8080/file/041707-49.jpg]) или вертикальных (для [img: http://localhost:8080/file/041707-50.jpg]) линиях сетки. Для П. н. м. характерно использование расщепляющихся операторов Ah, имеющих вид [img: http://localhost:8080/file/041707-51.jpg] Решение системы [img: http://localhost:8080/file/041707-52.jpg] (2) тогда сводится к последовательному решению двух систем [img: http://localhost:8080/file/041707-53.jpg] (3) [img: http://localhost:8080/file/041707-54.jpg] (4) в к-рых вначале решаются отдельные подсистемы на горизонтальных линиях сетки (в случае (3)), а затем осуществляется перемена направлений и решаются подсистемы на вертикальных линиях сетки (в случае (4)). При этом обычно операторы Rh выбираются такими, что на решение систем (3), (4), а следовательно, и (2), уходит только O(Nh).арифметич. действий. Поэтому и каждая итерация в П. н. м. вида [img: http://localhost:8080/file/041707-55.jpg] (5) где верхний индекс псоответствует номеру итерации, обычно осуществляется с затратой O(Nh).арифметич. действий. Наиболее эффективные результаты для П. н. м. получаются для т. н. коммутативного случая, когда оператор Lh является самосопряженным положительно определенным оператором, а операторы [img: http://localhost:8080/file/041707-56.jpg] - самосопряженные и перестановочные с Lh. В этом случае для любого e>0 погрешность начального приближения можно уменьшить по норме в e-1 раз за число итераций M=0(lne||lnh||). Коммутативный случай может встретиться только для краевых задач, в к-рых можно произвести разделение переменных, и, следовательно, область должна быть прямоугольником. Наиболее частым случаем метода (5) для уравнения [img: http://localhost:8080/file/041707-57.jpg] является метод [img: http://localhost:8080/file/041707-58.jpg] где Е h - тождественный оператор. Наряду с подходом, в к-ром за счет выбора итерационных параметров стремятся минимизировать норму оператора перехода от нулевой итерации к итерации с фиксированным номером, используются и подходы, основанные на различных вариационных принципах. П. н. м. часто используется в качестве внутреннего итерационного процесса в двухступенчатых итерационных методах, использующих операторы, эквивалентные по спектру и пригодные в случае переменных коэффициентов и нелинейных задач.