Пересечений теория

на алгебраическом многообразии - теория пересечений алгебраич. подмногообразий и циклов. Пусть X - гладкое алгебраич. многообразие размерности пнад полем k, a Yи Z - подмногообразия Xкоразмерности i и j соответственно. Если Yи Zпересекаются транс-версально, то [img: http://localhost:8080/file/041708-95.jpg] является гладким подмногообразием коразмерности i+j, к-рое обозначается [img: http://localhost:8080/file/041708-96.jpg] В общем случае паре (Y,Z) сопоставляется алгебраический цикл Y.Z коразмерности i+j;. Идея его определения состоит в том, чтобы заменить Y и Z на эквивалентные в каком-то смысле циклы Y' и Z', находящиеся уже в общем положении, и взять затем пересечение Y' и Z'; конечно, при этом цикл Y'.Z' также определен с точностью до эквивалентности. Пусть А i (Х) - группа классов алгебраич. циклов коразмерности i на Xпо модулю рациональной эквивалентности; [img: http://localhost:8080/file/041708-97.jpg]. Теория пересечений Чжоу состоит из построения трех частей: а) структуры градуированного коммутативного кольца на (X).для каждого гладкого квазипроективного многообразия X; б) гомоморфизма градуированных колец [img: http://localhost:8080/file/041708-98.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041708-99.jpg] для каждого морфизма [img: http://localhost:8080/file/041708-100.jpg] (обратный образ); в) гомоморфизма групп [img: http://localhost:8080/file/041708-101.jpg] степени dimY-dimX для каждого собственного морфизма [img: http://localhost:8080/file/041708-102.jpg] (прямой образ). При этом структуры а), б), в) связаны рядом соотношений, важнейшими из к-рых являются: формула проекции: для собственного морфизма [img: http://localhost:8080/file/041708-103.jpg] и циклов [img: http://localhost:8080/file/041708-104.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041708-105.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041708-106.jpg] редукция к диагонали: если [img: http://localhost:8080/file/041708-107.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041708-108.jpg] - диагональный морфизм, а [img: http://localhost:8080/file/041708-109.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041708-110.jpg] Кроме того, существует естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041708-111.jpg] что позволяет построить теорию Чжэня классов со значениями в кольце Чжоу, и в частности характер Чжэня [img: http://localhost:8080/file/041708-112.jpg] являющийся гомоморфизмом колец. Проще всего определяется гомоморфизм прямого образа f*. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041708-113.jpg] - неприводимое подмногообразие; если dimf(Z)<dimZ,то f* (Z) = 0, если dim f(Z)=dimZ, то f*(Z)=d.f(Z), где d - степень Z над f(Z). По линейности определение продолжается на циклы и классы циклов. Гомоморфизм обратного образа f* сводится к умножению циклов по формуле [img: http://localhost:8080/file/041708-114.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041708-115.jpg] - проекция, а [img: http://localhost:8080/file/041708-116.jpg] - график f. Определение умножения циклов делается в два этапа. Пусть сначала Y и Z - неприводимые подмногообразия в X, к-рые пересекаются собственно (т. е. коразмерность [img: http://localhost:8080/file/041708-117.jpg] равна сумме коразмерностей Y и Z). Каждой компоненте Wпересечения [img: http://localhost:8080/file/041708-118.jpg] приписывается нек-рое целое положительное число i(Y, Z; W) - локальная кратность пересечения. Есть несколько определений числа i(Y, Z; W), напр. Tor-формула Серра: [img: http://localhost:8080/file/041708-119.jpg] где А - локальное кольцо [img: http://localhost:8080/file/041708-120.jpg] - идеалы Y и Z,a l - длина А- модуля. После этого полагают [img: http://localhost:8080/file/041708-121.jpg] где Wпробегает неприводимые компоненты [img: http://localhost:8080/file/041708-122.jpg] Второй этап - лемма Чжоу о сдвиге - состоит в утверждении, что для произвольных циклов Y, Z на квазипроективном многообразии Xсуществует цикл Z', рационально эквивалентный Z, к-рый пересекается собственно с Y; более того, класс рациональной эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/041708-123.jpg] не зависит от Z'. Наиболее интересен случай проективного многообразия X;применяя функтор прямого образа к структурному морфизму [img: http://localhost:8080/file/041708-124.jpg], получают отображение степени [img: http://localhost:8080/file/041708-125.jpg]. По существу, степень цикла - это число точек в нульмерной компоненте цикла. Композиция умножения со степенью позволяет численно измерять пересечение. Напр., если Yи Z имеют дополнительные размерности, то получается пересечения индекс (число) Y и Z. Аналогично, получается индекс пересечения пдивизоров [img: http://localhost:8080/file/041708-126.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041708-127.jpg] Напр., кольцо Чжоу проективного пространства Р n порождается классом гиперплоскости Н, причем [img: http://localhost:8080/file/041708-128.jpg]. Поэтому если D1...,Dn - гиперповерхности степени d1...,dn, то (D1,..,Dn) = d1.....dn (теорема Безу). Степень проективного многообразия [img: http://localhost:8080/file/041708-129.jpg] размерности kопределяется как индекс пересечения Y с линейным подпространством [img: http://localhost:8080/file/041708-130.jpg] дополнительной размерности; если многообразия Yи Z пересекаются трансверсально, то степень [img: http://localhost:8080/file/041708-131.jpg] есть произведение степеней Y и Z. Для собственно пересекающихся эффективных дивизоров [img: http://localhost:8080/file/041708-132.jpg], но в общем случае это уже неверно. Напр., для исключительной кривой Ена поверхности (Е, Е)=-1. Многими формальными свойствами теории колец Чжоу обладают другие теории: циклы по модулю алгебраической или численной эквивалентности, К-теория, теория сингулярных когомологий [img: http://localhost:8080/file/041708-133.jpg] (в случае [img: http://localhost:8080/file/041708-134.jpg]), теория l-адических когомологий (см. также Вейля когомологий). Это приводит к аксиоматич. построению теории пересечения как сопоставления каждому многообразию X(из нек-рой категории) кольца С(X).и гомоморфизмов f* и f*, связанных рядом аксиом типа формулы проекции или редукции к диагонали (см. [1]). Сравнение различных П. т. приводит к полезным соотношениям. Напр., в комплексном случае понятие фундаментального цикла позволяет определить гомоморфизм теорий пересечений [img: http://localhost:8080/file/041708-135.jpg], что позволяет использовать трансцендентные методы. Сравнение K-теории и теории Чжоу приводит к теореме Римана - Роха - Гротендика. Важную роль при этом играет поведение П. т. при моноидальном преобразовании (см. [2]). Другое применение П. т. относится к обоснованию исчислительной геометрии Шуберта (см. [3]). Эту ветвь геометрии можно рассматривать как теорию колец Чжоу различных многообразий, классифицирующих геометрич. объекты - многообразия Грассмана, многообразия флагов и т. д.