Переходная функция

, вероятность перехода, - семейство мер, используемых в теории марковских процессов для определения распределения процесса в будущие моменты времени по известным состояниям в предшествующие моменты. Пусть измеримое пространство [img: http://localhost:8080/file/041709-1.jpg] таково, что s-алгебра [img: http://localhost:8080/file/041709-2.jpg] содержит все одноточечные подмножества из Е, и пусть Т- подмножество действительной прямой R. Функция Р(s, x; t, B), заданная при [img: http://localhost:8080/file/041709-3.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041709-4.jpg], наз. переходной функцией в измеримом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041709-5.jpg], если: а) при фиксированных s, х, t она является мерой на [img: http://localhost:8080/file/041709-6.jpg], причем Р(s, х; t, В) [img: http://localhost:8080/file/041709-7.jpg] 1; б) при фиксированных s, t, В она является [img: http://localhost:8080/file/041709-8.jpg] -измеримой функцией точки х;в). [img: http://localhost:8080/file/041709-9.jpg] и для всех s, предельных для Тв правой топологии прямой R, [img: http://localhost:8080/file/041709-10.jpg] г) при всех [img: http://localhost:8080/file/041709-11.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041709-12.jpg] из Твыполняется уравнение Колмогорова - Чепмена: [img: http://localhost:8080/file/041709-13.jpg] (*) (в нек-рых случаях требование в) опускают или ослабляют). П. ф. наз. марковской переходной функцией, если [img: http://localhost:8080/file/041709-14.jpg], и субмарковской переходной функцией в противоположном случае. Если Ене более чем счетно, П. ф. задают с помощью матрицы вероятностей перехода [img: http://localhost:8080/file/041709-15.jpg] (см. Переходные вероятности, Переходных вероятностей матрица). Нередко оказывается, что при любых допустимых s, х и tмера P(s, x', t,.) обладает плотностью p(s, x; t,.) относительно нек-рой меры. Если при этом выполнен следующий вариант уравнения (*): [img: http://localhost:8080/file/041709-16.jpg] для любых х, z из Еи [img: http://localhost:8080/file/041709-17.jpg] из Т, то функцию p(s, х; t, у).наз. переходной плотностью. При широких условиях (см. [1], [2]) с П. ф. P(s, x; t, В).можно связать марковский процесс Х=(xt,sz, [img: http://localhost:8080/file/041709-18.jpg]), для к-рого [img: http://localhost:8080/file/041709-19.jpg] (в случае марковской П. ф. этот процесс не обрывается). Наоборот, марковское свойство случайного процесса, как правило, позволяет сопоставить ему П. ф. (см. [3]). Пусть Тоднородно в том смысле, что совокупность значений t-s при [img: http://localhost:8080/file/041709-20.jpg] из Тобразует полугруппу [img: http://localhost:8080/file/041709-21.jpg] в Rотносительно сложения (напр., T-R, Т={ [img: http://localhost:8080/file/041709-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041709-23.jpg] }, Т={0, 1, 2,...}). Если при этом П. ф. P(s, x; t, В).зависит лишь от разности t-s, т. е. если P(s, x; t, B) = P(t-s, x, В), где P(t, x, B) - функция от [img: http://localhost:8080/file/041709-24.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041709-25.jpg] подчиненная соответствующему варианту условий а) - г), то Р(s, x; t, В). наз. однородной переходной функцией. Последнее название присваивается и функции P(t, x, В), для к-рой (*) принимает форму [img: http://localhost:8080/file/041709-26.jpg] Для нек-рых целей (напр., при регуляризации П. ф.) оказывается необходимым расширить определение П. ф. Напр., считают заданным семейство измеримых пространств [img: http://localhost:8080/file/041709-27.jpg] а П. ф. относительно этого семейства определяют как функцию P(s, x; t, В), где [img: http://localhost:8080/file/041709-28.jpg], удовлетворяющую подходящей модификации условий а) - г).