Периодическая функция

функция, имеющая период. 1) Пусть функция f(x).определена на [img: http://localhost:8080/file/041709-172.jpg] и имеет период Т. Для получения графика f(x) достаточно график функции f(x).на [img: http://localhost:8080/file/041709-173.jpg], где а - нек-рое число, переместить вдоль R на + Т, + 2Т,.... Если П. ф. f(x).с периодом Тимеет конечную производную f(х), то f' (х).является П. ф. с тем же периодом. Пусть f(x).интегрируема на любом отрезке и имеет период Т. Первообразная [img: http://localhost:8080/file/041709-174.jpg] имеет период Т, если [img: http://localhost:8080/file/041709-175.jpg], в противном случае первообразная П. ф. непериодическая, такова, напр., первообразная функции f(x) = cos x+1. А. А. Конюшков. 2) П. ф. комплексного переменного z - однозначная аналитич. ция f(z), имеющая только изолированные особые точки во всей плоскости комплексного переменного С, для к-рой существует число [img: http://localhost:8080/file/041709-176.jpg], называемое периодом функции f(z), такое, что [img: http://localhost:8080/file/041709-177.jpg] Любая линейная комбинация периодов данной П. ф. f(z) с целочисленными коэффициентами также является периодом f(z). Все периоды данной П. ф. f(z) [img: http://localhost:8080/file/041709-178.jpg] const составляют дискретную абелеву группу по сложению, называемую группой периодов функции f(z). Если базис этой группы состоит из одного единственного основного, или примитивного, периода [img: http://localhost:8080/file/041709-179.jpg], т. е. если любой период ресть целое кратное 2w, то f(z) наз. однопериодической функцией. В случае базиса, состоящего из двух основных периодов [img: http://localhost:8080/file/041709-180.jpg], имеем двоякопериодическую функцию. Если П. ф. f(z) отлична от константы, то базис ее группы периодов не может состоять более чем из двух основных независимых периодов (теорема Якоби). Любая полоса вида [img: http://localhost:8080/file/041709-181.jpg] где 2w - один из основных периодов П. ф. f(z), или ей конгруэнтная, наз. полосой периодов функции f(z); обычно принимают a=p/2, т. е. рассматривают полосу периодов, стороны к-рой перпендикулярны основному периоду 2w. В каждой полосе периодов П. ф. принимает любое свое значение и притом одинаково часто. Любая целая П. ф. f(z) во всей плоскости С разлагается в ряд Фурье [img: http://localhost:8080/file/041709-182.jpg] (*) к-рый сходится равномерно и абсолютно на прямой [img: http://localhost:8080/file/041709-183.jpg] и вообще на любой сколь угодно широкой полосе конечной ширины, параллельной этой прямой. Случай, когда целая П. ф. f(z) стремится к определенному конечному или бесконечному пределу в каждом из двух концов полосы периодов, характеризуется тем, что ряд (*) содержит лишь конечное число членов, то есть f(z) есть тригонометрич. полином. Любая мероморфная П. ф. f(z) во всей плоскости С с основным периодом 2w представима в виде отношения двух целых П. ф. с тем же периодом, т. е. в виде отношения двух рядов вида (*). В частности, класс всех тригонометрич. функций можно описать как класс таких мероморфных П. ф. с периодом 2p, к-рые в каждой полосе периодов имеют лишь конечное число полюсов и стремятся к определенному пределу в каждом конце полосы периодов.