Петера - вейля теорема

теорема об аппроксимации функций на компактной топологич. группе представляющими функциями. Пусть p пробегает семейство S представителей всех классов эквивалентности неприводимых непрерывных унитарных представлений компактной группы G. Пусть dim p - размерность представления p и [img: http://localhost:8080/file/041710-125.jpg] - его матричные элементы в нек-ром ортонормированием базисе. П. - В. т. утверждает, что функции вида [img: http://localhost:8080/file/041710-126.jpg] образуют ортонормиррваиный базис в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041710-127.jpg] суммируемых с квадратом функций относительно меры Хаара на G(мера всей группы считается равной 1). Алгебра всех представляющих комплексных функций на G, совпадающая с множеством конечных линейных комбинаций функций [img: http://localhost:8080/file/041710-128.jpg], равномерно плотна в пространстве всех непрерывных комплексных функций на G. В случае, когда G= Т - группа вращений плоскости,- это утверждение совпадает с элементарной теоремой об аппроксимации периодических непрерывных функций тригонометрич. многочленами. В качестве следствия из П.- В. т. выводится, что совокупность линейных комбинаций характеров неприводимых представлений группы Gплотна в алгебре всех непрерывных функций на G, построенных на классах сопряженных элементов. Другое следствие состоит в том, что для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/041710-129.jpg], найдется такое неприводимое непрерывное представление j группы G, что [img: http://localhost:8080/file/041710-130.jpg]; если же G - компактная группа Ли, то G допускает точное линейное представление. Из П.- В. т. вытекает также следующее, более общее, утверждение (см. [5], |0]). Пусть дано непрерывное линейное представление j компактной группы Gв пространстве Фреше Е, тогда подпространство представляющих элементов пространства Еплотно в Е. При этом элемент [img: http://localhost:8080/file/041710-131.jpg] наз. представляющим, или сферическим, или почти инвариантным, если орбита [img: http://localhost:8080/file/041711-1.jpg] порождает в Еконечномерное подпространство. Это, в частности, применимо к случаю, когда Е - пространство сечений нек-рого класса гладкости гладкого векторного G-расслоения, напр. пространство тензорных полей определенного типа и заданного класса гладкости на гладком многообразии с гладким действием компактной группы Ли G. П.- В. т. была доказана в 1927 Ф. Петером (F. Peter) и Г. Вейлем (Н. Weyl) (см. [1]).