Петерсона соответствие

соответствие двух поверхностей, при к-ром их касательные плоскости в соответствующих точках параллельны. В общем виде рассмотрено К. М. Петерсоном [1] в связи с задачей изгибания на главном основании. Напр., в П. с. находятся поверхность и ее сферич. образ, поверхность и ее индикатриса вращения, присоединенные минимальные поверхности. Если поверхности Sи S* имеют общую параметризацию, то их третьи квадратичные формы равны. Главная сеть асимптотич. сетей Sи S* сопряжена на каждой из них. Эта сеть определяется однозначно, если асимптотич. сети не имеют общих семейств линий; вырождается, если эти сети связанные; становится неопределенной, если эти сети соответствуют друг другу. Соответствующие касательные к линиям главной сети на Sи S* параллельны. Если главную сеть принять за координатную (и, v), то радиус-векторы хи х* поверхностей Sи S* связаны уравнениями [img: http://localhost:8080/file/041711-2.jpg] причем функции r, s удовлетворяют системе уравнений [img: http://localhost:8080/file/041711-3.jpg] то есть r, sзависят только от метрики F(Е, F, G - коэффициенты ее первой квадратичной формы). Естественно поэтому применение П. с. к паре изометричных поверхностей [img: http://localhost:8080/file/041711-4.jpg]: оно дает другую пару изометричных поверхностей [img: http://localhost:8080/file/041711-5.jpg] с теми же нормалями [img: http://localhost:8080/file/041711-6.jpg] соответственно. Кроме того, оказывается, что диаграммы поворота этих поверхностей одни и те же и что основание изометрии новых поверхностей имеет то же сферич. изображение, как и первоначальных. Напр., сфере и изометричной ей поверхности положительной постоянной кривизны отвечают при П. с. изометричные поверхности с соответствующими линиями кривизны - т. н. поверхности Бонне. В частности, если основание изометрии Sи S* было главным основанием, то оно и. остается таковым. Это - т. н. преобразование Петерсона поверхности, изгибаемой на главном основании в поверхность того же типа. Имеется обобщение этого преобразования на случай семейства сетей (см. [2]). Специальный случай П. с., при к-ром главная сеть является сетью кривизны одновременно на Sи на S*, наз. соответствием Комбескюра. Если П. с. является конформным, то либо одна из поверхностей минимальная, а другая - сфера (то есть П. с.- сферич. отображение), либо обе поверхности минимальные, а вектор конформного отображения удовлетворяет уравнению Лапласа, либо поверхности подобны, либо обе поверхности изотермические и находятся в соответствии Комбескюра. Имеется многомерное обобщение П. с. (см. [4]).