Пикара многообразие

полного гладкого алгебраического многообразия Xнад алгебраически замкнутым полем - абелево многообразие [img: http://localhost:8080/file/041711-56.jpg], параметризующее факторгруппу Diva(X)/P(X).группы Diva(X). дивизоров, алгебраически эквивалентных нулю, по группе главных дивизоров Р(X), т. е. дивизоров рациональных функций. С точки зрения теории пучков П. м. параметризует множество классов изоморфных обратимых пучков с нулевым классом Чжэня, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041711-57.jpg] cовпадает со связной компонентой единицы Pic0 (X) Пикара группы Pic (X).Многообразия X. Структура абелеВа многообразия на группе [img: http://localhost:8080/file/041711-58.jpg] (Х) =-Divd (Х)/Р(X).однозначно характеризуется следующим свойством: Для любого алгебраич. семейства Дивизоров Dна X с базой Sсуществует такое регулярное отображение [img: http://localhost:8080/file/041711-59.jpg], для к-рого D(s)- [img: http://localhost:8080/file/041711-60.jpg], где s0 - нек-рая фиксированная точка из S0 (см. [2]). Размерность [img: http://localhost:8080/file/041711-61.jpg] наз. иррегулярностью многообразия X. Классической пример П. м.- Якоби многообразие гладкой проективной кривой. Другим примером может служить двойственное абелево многообразие (см. [3]). В случае, Когда X - гладкое проективное комплексное многообразие, [img: http://localhost:8080/file/041711-62.jpg] можно отождествить с группой обратимых аналитич. чков на X, имеющих нулевой класс Чжоня [4]. Более того, многообразие Пикара [img: http://localhost:8080/file/041711-63.jpg] в этом случае изоморфно факторгруппе пространства [img: http://localhost:8080/file/041711-64.jpg] по решетке [img: http://localhost:8080/file/041711-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041711-66.jpg]. В частности, иррегулярность qмногообразия Xсовпадает с dim [img: http://localhost:8080/file/041711-67.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041711-68.jpg] - пучок регулярных 1-форм. Последний результат верен также в случае неособых проективных кривых над любым алгебраически замкнутым полем и в случае полных гладких многообразий над алгебраически замкнутым полем характеристики 0; для произвольной характеристики имеет место лишь неравенство Игузы: [img: http://localhost:8080/file/041711-69.jpg] (известен пример гладкой алгебраич. поверхности Fиррегулярности 1 с [img: http://localhost:8080/file/041711-70.jpg]; см. [0]). Как видно отсюда, П. м. тесно связано с теорией одномерных дифференциальных форм. Начало исследования таких форм на римановых поверхностях положил Э. Пикар [1]; он доказал конечномерность пространства [img: http://localhost:8080/file/041711-71.jpg] всюду регулярных форм, Понятие П. м. может быть обобщено на случай полного нормального многообразия X. Изучалось также многообразие Пикара [img: http://localhost:8080/file/041711-72.jpg], соответствующее дивизорам Картье и обладающее, в отличие от [img: http://localhost:8080/file/041711-73.jpg], хорошими функториальными свойствами [9|. Многообразие [img: http://localhost:8080/file/041711-74.jpg] было построено Для полных нормальных многообразий X(см. [5]), а также для произвольных проективных многообразий [8].