Питмена оценка

- эквивариантная статистич. оценка параметра сдвига относительно группы вещественных сдвигов, имеющая минимальный риск при квадратичной функции потерь. Пусть компоненты X1, Х 2,..., Х п случайного вектора Х= (X1, Х 2,..., Х п).суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, плотность вероятности к-рого принадлежит семейству [img: http://localhost:8080/file/041712-12.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/041712-13.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041712-14.jpg]. Далее, пусть G= {g} - группа вещественных сдвигов, действующая в пространстве реализаций [img: http://localhost:8080/file/041712-15.jpg] случайной величины Х i(i=l, 2,..., n): [img: http://localhost:8080/file/041712-16.jpg] В таком случае задача оценивания параметра q будет инвариантной относительно квадратичной функции потерь [img: http://localhost:8080/file/041712-17.jpg], если в качестве [img: http://localhost:8080/file/041712-18.jpg] выбрать эквивариантную оценку. Э. Питмен [1] показал, что эквивариантная оценка [img: http://localhost:8080/file/041712-19.jpg] параметра сдвига q относительно группы G, имеющая минимальный риск при квадратичной функции потерь, имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041712-20.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041712-21.jpg] есть i-я порядковая статистика, построенная по вектору наблюдений X. П. о.- несмещенная оценка, она является минимаксной в классе всех оценок параметра сдвига q при квадратичной функции потерь, если все эквивариантные оценки параметра q имеют конечные функции риска [2]. Пример 1. Если [img: http://localhost:8080/file/041712-22.jpg] то есть Х i, i=l, 2,..., п, подчиняется показательному закону с неизвестным параметром сдвига q, то П. о. [img: http://localhost:8080/file/041712-23.jpg] для q выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041712-24.jpg] причем ее дисперсия равна 1/n2. Пример 2. Если [img: http://localhost:8080/file/041712-25.jpg] то есть Xi, i=l, 2,..., п, подчиняется нормальному [img: http://localhost:8080/file/041712-26.jpg] закону с неизвестным математич. ожиданием q, то в этом случае среднее арифметическое [img: http://localhost:8080/file/041712-27.jpg] является П. о.