Планшереля теорема

для каждой квадратично суммируемой функции [img: http://localhost:8080/file/041712-33.jpg] интеграл [img: http://localhost:8080/file/041712-34.jpg] сходится в L2 к нек-рой функции [img: http://localhost:8080/file/041712-35.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041712-36.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/041712-37.jpg] При этом сама функция f(х).представляется как предел в L2 при [img: http://localhost:8080/file/041712-38.jpg] интегралов [img: http://localhost:8080/file/041712-39.jpg] то есть [img: http://localhost:8080/file/041712-40.jpg] Кроме того, справедливо соотношение [img: http://localhost:8080/file/041712-41.jpg] (формула Парсеваля - Планшереля). Функция [img: http://localhost:8080/file/041712-42.jpg] где предел понимается в смысле сходимости в L2, наз. преобразованием Фурье функции f и обозначается обычным символом [img: http://localhost:8080/file/041712-43.jpg] (1) при этом интеграл (1) понимается в смысле главного значения на [img: http://localhost:8080/file/041712-44.jpg] в метрике L2. Аналогично истолковывается равенство [img: http://localhost:8080/file/041712-45.jpg] (2) Для функции [img: http://localhost:8080/file/041712-46.jpg] интегралы (1) и (2) существуют в смысле главного значения почти при всех х. Функции f и [img: http://localhost:8080/file/041712-47.jpg] удовлетворяют почти при всех хтакже соотношениям [img: http://localhost:8080/file/041712-48.jpg] Если обозначить [img: http://localhost:8080/file/041712-49.jpg] преобразование Фурье, [img: http://localhost:8080/file/041712-50.jpg] - его обращение, то П. т. перефразируется так: [img: http://localhost:8080/file/041712-51.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041712-52.jpg] - взаимно обратные унитарные операторы в L2. П. т. установлена М. Планшерелем (М. Plancherel, 1910).