Плеснера теорема

- один из основных результатов в теории граничных свойств аналитических функций. Пусть f(z) - мероморфная функция в единичном круге [img: http://localhost:8080/file/041713-103.jpg] - открытый угол с вершиной [img: http://localhost:8080/file/041713-104.jpg] на окружности [img: http://localhost:8080/file/041713-105.jpg], образованный двумя хордами круга D, проходящими через [img: http://localhost:8080/file/041713-106.jpg]. Точка [img: http://localhost:8080/file/041713-107.jpg] наз. точкой Плеснера (или [img: http://localhost:8080/file/041713-108.jpg] обладает свойством Плеснера), если в любом сколь угодно малом угле D для любого значения wиз расширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041713-109.jpg] существует последовательность [img: http://localhost:8080/file/041713-110.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/041713-111.jpg] Точка е iq наз. точкой Фату для f(z), если существует один единственный предел [img: http://localhost:8080/file/041713-112.jpg] когда z стремится к [img: http://localhost:8080/file/041713-113.jpg] внутри любого угла D. Теорема Плеснера; почти все точки окружности Г по мере Лебега на Г являются либо точками Фату, либо точками Плеснера. Доказана А. И. Плеснером (см. [1]). Известно также, что множество Р(f) всех точек Плеснера имеет тип Gd на Г. Построены примеры аналитич. ций в D, для к-рых множество Р(f).плотно на Г и имеет любую наперед заданную меру Лебега [img: http://localhost:8080/file/041713-114.jpg] (см. [3]). П. т. верна для мероморфных функций f(z) в любой односвязной области Dсо спрямляемой границей Г. В этом случае [img: http://localhost:8080/file/041713-115.jpg] есть точка Фату, если существует предел [img: http://localhost:8080/file/041713-116.jpg] при стремлении [img: http://localhost:8080/file/041714-1.jpg] по любому некасательному пути; определение точки Плеснера [img: http://localhost:8080/file/041714-2.jpg] нужно изменить так, чтобы рассматривались углы Д с вершиной z и сторонами, образующими углы, меньшие p/2, с нормалью к Г в точке z (см. [2]). Аналогом П. т. в терминах категории множеств является Мейера теорема.