Плоский морфизм

- морфизм схем [img: http://localhost:8080/file/041714-78.jpg] такой, что для любой точки [img: http://localhost:8080/file/041714-79.jpg] локальное кольцо [img: http://localhost:8080/file/041714-80.jpg] является плоским над [img: http://localhost:8080/file/041714-81.jpg] (см. Плоский модуль). Вообще, пусть [img: http://localhost:8080/file/041714-82.jpg] - пучок [img: http://localhost:8080/file/041714-83.jpg] -модулей, он наз. плоским над Yв точке [img: http://localhost:8080/file/041714-84.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041714-85.jpg] - плоский модуль над кольцом [img: http://localhost:8080/file/041714-86.jpg]. При нек-рых (довольно слабых) условиях конечности множество точек, в к-рых когерентный [img: http://localhost:8080/file/041714-87.jpg] -модуль [img: http://localhost:8080/file/041714-88.jpg] является плоским, открыто в X. Если при этом схема Yцелостна, то существует открытое непустое подмножество [img: http://localhost:8080/file/041714-89.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/041714-90.jpg] - П. м. над Yво всех точках, лежащих над U. П. м. конечного типа соответствуют интуитивному понятию непрерывного семейства многообразий. П. м. открыт и равноразмерен (т. е. размерность слоев f-1 (у) локально постоянна по [img: http://localhost:8080/file/041714-91.jpg]). Для многих гео-метрич. свойств множество точек [img: http://localhost:8080/file/041714-92.jpg], в к-рых слой f-1(f(x)).плоского морфизма [img: http://localhost:8080/file/041714-93.jpg] обладает этим свойством, открыто в X. Если П. м. f собственный, то открытым является и множество точек [img: http://localhost:8080/file/041714-94.jpg], слои над к-рыми обладают этим свойством (см. [1]). П. м. применяются также в теории спуска. Морфизм схем наз. строго плоским, если он плоский и сюръективный. Тогда, как правило, для проверки какого-либо свойства нек-рого объекта над Yдостаточно проверить это свойство для объекта, полученного после строго плоской замены базы [img: http://localhost:8080/file/041714-95.jpg] (см. [1]). В связи с этим представляют интерес критерии плоскостности морфизма [img: http://localhost:8080/file/041714-96.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/041714-97.jpg] -модуля [img: http://localhost:8080/file/041714-98.jpg]); при этом Yможно считать локальной схемой. Простейший критерий относится к случаю, когда база Yодномерна и регулярна: когерентный [img: http://localhost:8080/file/041714-99.jpg] -модуль [img: http://localhost:8080/file/041714-100.jpg] будет плоским тогда и только тогда, когда униформизирующая на Yимеет тривиальный аннулятор в [img: http://localhost:8080/file/041714-101.jpg]. Общий случай в нек-ром смысле сводится к одномерному. Пусть Y - приведенная нётерова схема и для любого морфизма [img: http://localhost:8080/file/041714-102.jpg], где Z - одномерная регулярная схема, замена базы [img: http://localhost:8080/file/041714-103.jpg] является П. м.; тогда f есть П. м. Другой критерий плоскостности требует, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041714-104.jpg] был универсально открыт, а Y и геометрич. слои [img: http://localhost:8080/file/041714-105.jpg] - приведены.