Плотности матрица

состояния r, определенного на алгебре [img: http://localhost:8080/file/041715-6.jpg] ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041715-7.jpg],- положительный ядерный оператор [img: http://localhost:8080/file/041715-8.jpg]. такой, что [img: http://localhost:8080/file/041715-9.jpg] (1) причем [img: http://localhost:8080/file/041715-10.jpg]. Обратно, всякое состояние r, т. е. линейный положительный ([img: http://localhost:8080/file/041715-11.jpg]) нормированный (r(E)=1) функционал на [img: http://localhost:8080/file/041715-12.jpg], представимо в виде (1), т. е. имеет П. м. р и притом единственную. Впервые понятие П. м. появилось в статистич. физике при определении квантового состояния Гиббса. Пусть квантовая система, занимающая конечную область Vпространства [img: http://localhost:8080/file/041715-13.jpg], описывается векторами нек-рого гильбертова пространства [img: http://localhost:8080/file/041715-14.jpg] и гамильтонианом. [img: http://localhost:8080/file/041715-15.jpg] и обладает, быть может, нек-рым набором коммутирующих друг с другом "первых интегралов" [img: http://localhost:8080/file/041715-16.jpg],..., [img: http://localhost:8080/file/041715-17.jpg], k=1, 2,.... Состоянием Гиббса такой системы наз. состояние на [img: http://localhost:8080/file/041715-18.jpg], задаваемое П. м.: [img: http://localhost:8080/file/041715-19.jpg] (2) где Z - нормирующий множитель, а b>0, ml,...,mk - действительные параметры. Наряду с П. м. (2) состояние системы в квантовой статистич. физике можно задавать с помощью т. н. приведенной матрицы плотности. В наиболее простом случае системы одинаковых частиц (бозонов или фермионов), описываемых векторами Фока пространства [img: http://localhost:8080/file/041715-20.jpg], приведенная П. м. [img: http://localhost:8080/file/041715-21.jpg] состояния r представляет собой набор функций (вообще говоря, обобщенных) [img: http://localhost:8080/file/041715-22.jpg] (3) где [img: http://localhost:8080/file/041715-23.jpg] а ' [img: http://localhost:8080/file/041715-24.jpg], - рождения операторы и уничтожения операторы соответственно, действующие в [img: http://localhost:8080/file/041715-25.jpg]. В случаях, когда в алгебре [img: http://localhost:8080/file/041715-26.jpg] вместо операторов рождения и уничтожения выбрана какая-нибудь другая система образующих [img: http://localhost:8080/file/041715-27.jpg] - нек-рое множество индексов), приведенная П. м. состояния [img: http://localhost:8080/file/041715-28.jpg] определяется аналогично (3) как совокупность значений состояния r на всевозможных мономах вида [img: http://localhost:8080/file/041715-29.jpg] Приведенная П. м. оказывается особенно удобной при определении предельного гиббсовского состояния на С*-алгебре [img: http://localhost:8080/file/041715-30.jpg] так наз. квазилокальных наблюдаемых: [img: http://localhost:8080/file/041715-31.jpg] (черта означает замыкание в равномерной топологии).