Плотностные теоремы

- общее название теорем, к-рые дают оценку сверху для числа [img: http://localhost:8080/file/041715-44.jpg] нулей r=b+ig L-функций Дирихле [img: http://localhost:8080/file/041715-45.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041715-46.jpg] - характер по модулю kв прямоугольнике [img: http://localhost:8080/file/041715-47.jpg]. В случае k=1 получают П. т. для числа нулей дзета-функции Римана [img: http://localhost:8080/file/041715-48.jpg] П. т. для L-функций при [img: http://localhost:8080/file/041715-49.jpg] сложнее, чем соответствующие теоремы для дзета-функции Римана. При растущих параметрах Т к k получаются оценки, зависящие от этих параметров. В приложениях решающую роль играет параметр k. Значение П. т. выясняется из соотношений, позволяющих оценивать остаточный член в формуле для количества простых чисел р, принадлежащих ариф-метич. прогрессии [img: http://localhost:8080/file/041715-50.jpg] m=0, 1, 2,..., и не превосходящих х, в зависимости от N(s, Т,c). Поскольку функция [img: http://localhost:8080/file/041715-51.jpg] не возрастает при возрастании s и [img: http://localhost:8080/file/041715-52.jpg], целью П. т. является получение оценок, наиболее, быстро стремящихся к нулю при [img: http://localhost:8080/file/041715-53.jpg]. В свою очередь эти оценки существенно дополняются результатами об отсутствии нулей у L-функций Дирихле в окрестности прямой s=1, к-рые получаются с помощью кругового метода Харди - Литлвуда - Виноградова. На этом пути удалось получить сильные оценки для количества четных чисел [img: http://localhost:8080/file/041715-54.jpg], возможно непредставимых в виде суммы двух простых чисел. Первые П. т., доставлявшие оценки [img: http://localhost:8080/file/041715-55.jpg] для индивидуального характера [img: http://localhost:8080/file/041715-56.jpg] и усредненные оценки по всем характерам данного модуля k, были получены Ю. В. Линником. Дальнейшее значительное улучшение П. т. принадлежит А. И. Виноградову и Э. Бомбьери (Е. Bombieri), к-рые использовали оценки N(s, Т,c), усредненные по всем модулям [img: http://localhost:8080/file/041715-57.jpg] и по всем примитивным характерам данного модуля k, для доказательства теоремы о распределении простых чисел в Эрифметич. прогрессиях в среднем (при [img: http://localhost:8080/file/041715-58.jpg]). Теорема Виноградова - Бомбьери позволяет в ряде классич. задач аддитивной теории чисел заменять расширенную гипотезу Римана. Имеется ряд других улучшений П. т.