Площадей принцип

: площадь дополнения к образу области при ее отображении регулярной в ней функцией неотрицательна. Впервые П. п. использовал в 1914 Т. Гронуолл [1], к-рый доказал этим путем т. н. внешнюю теорему площадей для функций класса 2 - функций [img: http://localhost:8080/file/041715-102.jpg] регулярных и однолистных в области D'= {z:l<|z|< [img: http://localhost:8080/file/041715-103.jpg] } (см. Однолистная функция). Площадь s(CF(D')).дополнения для образа F(D') области D' при отображении [img: http://localhost:8080/file/041715-104.jpg] определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/041715-105.jpg] и, следовательно, [img: http://localhost:8080/file/041715-106.jpg] (1) С помощью неравенства (1) получены первые результаты для функций классов S и S, где S - класс функций [img: http://localhost:8080/file/041715-107.jpg], регулярных и однолистных в круге D={z: |z|<1 } (см. Бибербаха гипотеза, Искажения теоремы). Доказана [2] более общая теорема площадей. Г. М. Голузин [3] распространил теорему площадей на р-листные функции в круге (см. Многолистная функция). Доказана следующая теорема площадей [4]: пусть [img: http://localhost:8080/file/041715-108.jpg] - регулярная на [img: http://localhost:8080/file/041715-109.jpg] функция, [img: http://localhost:8080/file/041715-110.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/041715-111.jpg] (2) и знак равенства имеет место только в том случае, если площадь [img: http://localhost:8080/file/041715-112.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/041715-113.jpg] равна нулю. Под теоремой площадей в нек-ром классе однолистных функций [img: http://localhost:8080/file/041715-114.jpg] - область (или в классе систем однолистных функций [img: http://localhost:8080/file/041715-115.jpg], n=1, 2,..., Bk- области), понимают обычно всякое неравенство, обладающее тем свойством, что знак равенства в нем имеет место в том и только в том случае, если площадь дополнения [img: http://localhost:8080/file/041715-116.jpg] для f(B).(соответственно дополнения [img: http://localhost:8080/file/041715-117.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041715-118.jpg]) равна нулю. Обычно такая теорема доказывается с помощью П. п. Именно, рассматривается произвольная регулярная функция Q(w).(или, более общо, имеющая регулярную производную) на [img: http://localhost:8080/file/041715-119.jpg] и вычисляется площадь [img: http://localhost:8080/file/041715-120.jpg] образа [img: http://localhost:8080/file/041715-121.jpg] при отображении функцией Q. Таким образом, неравенство (2) есть нек-рая весьма общая теорема площадей в классе S. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041715-122.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041715-123.jpg] Выбирая надлежащим образом функцию Q, регулярную на CF(D'), неравенство (2) можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/041715-124.jpg] (3) где x р - произвольные числа, не равные одновременно нулю и такие, что [img: http://localhost:8080/file/041715-125.jpg] Получены и более общие теоремы площадей в классе S (см. [5]). Теоремы площадей доказаны: для класса [img: http://localhost:8080/file/041715-126.jpg] (а 1,..., а п).систем [img: http://localhost:8080/file/041715-127.jpg] функций fk, конформно и однолистно отображающих круг D на области, попарно не имеющие общих точек,- неналегающие области (см. [6]); в классе S(В).(S(В), [img: http://localhost:8080/file/041715-128.jpg],- класс функций F, регулярных и однолистных в [img: http://localhost:8080/file/041715-129.jpg] и таких, что [img: http://localhost:8080/file/041715-130.jpg], см. [7]); для неналегающих многосвязных областей (см. [6], а также [8], [9]). Все теоремы площадей для многосвязных областей доказываются контурного интегрирования методом. Под методом площадей понимают способы решения различных задач теории однолистных функций, использующие теоремы площадей. Напр., из (3) с помощью неравенства Коши можно получить: [img: http://localhost:8080/file/041715-131.jpg] где x р и x'q такие, что ряды, стоящие в правой части, сходятся. Если в неравенстве (4), напр., [img: http://localhost:8080/file/041715-132.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041715-133.jpg], то получают теорему искажения хорд: [img: http://localhost:8080/file/041715-134.jpg] Теоремы площадей, напр, в классе [img: http://localhost:8080/file/041715-135.jpg], дают необходимые и достаточные условия принадлежности системы [img: http://localhost:8080/file/041715-136.jpg] мероморфных функций fk классу [img: http://localhost:8080/file/041715-137.jpg] (см. [6] с. 179).