Плюригармоническая функция

функция u=u(z).от пкомплексных переменных z=(z1..., zn) в области Dкомплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/041716-62.jpg] имеющая в Dнепрерывные частные производные но координатам [img: http://localhost:8080/file/041716-63.jpg] до 2-го порядка включительно и удовлетворяющая в Dсистеме n2 уравнений: [img: http://localhost:8080/file/041716-64.jpg] (1) [img: http://localhost:8080/file/041716-65.jpg] Применяя формальные производные [img: http://localhost:8080/file/041716-66.jpg] можно записать систему (1) в более компактной форме: [img: http://localhost:8080/file/041716-67.jpg] (2) Значение класса П. ф. определяется тем, что действительная и мнимая части [img: http://localhost:8080/file/041716-68.jpg] любой голоморфной в области Dфункции j=u+iv являются П. ф. в D;такие две (действительные) П. ф. наз. сопряженными. Обратно, если дана П. ф. ц в окрестности Vточки [img: http://localhost:8080/file/041716-69.jpg], то в этой окрестности существует голоморфная функция f=u+iv, действительная часть к-рой равна и. Задача определения этой голоморфной функции f сводится к нахождению сопряженной П. ф. У по формуле [img: http://localhost:8080/file/041716-70.jpg] где интеграл не зависит от пути в силу (1). Вообще говоря, рассматриваются сами по себе и комплексные П. ф., определяемые как решения системы (1) или (2). При n>1 П. ф. составляют правильный подкласс класса кратногармонических функций, к-рый, в свою очередь, есть правильный подкласс класса гармонических функций:при n=1 все эти три класса совпадают. С другой стороны, при [img: http://localhost:8080/file/041716-71.jpg] действительные П. ф. составляют правильный подкласс класса плюрисубгармонических функций, к-рый, в свою очередь, при n>1 является правильным подклассом класса субгармонических функций. Кроме общих свойств гармонич. функций, П. ф. при n>1 обладают характерными свойствами, обусловленными в основном переопределенностью системы (1) или (2) в этом случае. Пусть, напр., при n>1 П. ф. и(z) в единичном поликруге [img: http://localhost:8080/file/041716-72.jpg] непрерывна в замкнутом поликруге [img: http://localhost:8080/file/041716-73.jpg]. При этом даже ее граничные значения на остове [img: http://localhost:8080/file/041716-74.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041716-75.jpg], являющемся правильной частью всей границы дUn, не могут быть заданы в виде произвольной непрерывной функции [img: http://localhost:8080/file/041716-76.jpg], - они удовлетворяют определенным дополнительным условиям. Таким образом, задача Дирихле в классе П. ф. с данными на остове разрешима лишь при специально подобранных граничных данных (см. [3]).