Плюрисубгармоническая функция

действительная функция u=u(z), [img: http://localhost:8080/file/041716-77.jpg], п комплексных переменных z=(zl,..., zn).в области Dкомплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/041716-78.jpg], удовлетворяющая следующим условиям: 1) и(z) полунепрерывна сверху всюду в D;2) u(z0+la). есть субгармоническая функция переменного [img: http://localhost:8080/file/041716-79.jpg] __ в каждой связной компоненте открытого множества [img: http://localhost:8080/file/041716-80.jpg] для любых фиксированных точек [img: http://localhost:8080/file/041716-81.jpg]. Функция v(z).наз. плюрисупергарионической функцией, если - v(z) есть П. ф. Плюрисубгармонич. функции при n>1 составляют правильный подкласс класса субгармонич. функций, а при n=1 эти два класса совпадают. Наиболее важные примеры П. ф.: ln|f(z)|, ln + |f(z)|, |f(z)|p, [img: http://localhost:8080/file/041716-82.jpg], где f(z) - голоморфная функция в D. Для того чтобы полунепрерывная сверху в области [img: http://localhost:8080/file/041716-83.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/041716-84.jpg], была П. ф., необходимо и достаточно, чтобы для любых фиксированных [img: http://localhost:8080/file/041716-85.jpg], |а| = 1 существовало число d=d(z, a)>0 такое, что при 0<r<d выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041716-86.jpg] Для функций u(z).класса С 2(D) более удобен следующий критерий: u(z) есть П. ф. в D тогда и только тогда, когда эрмитова форма (гессиан функции и) [img: http://localhost:8080/file/041716-87.jpg] неотрицательно определена в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041716-88.jpg] Помимо общих свойств субгармонич. функций, для П. ф. справедливы следующие: 1) u(z) есть П. ф. в области Dтогда и только тогда, когда u(z) - П. ф. в окрестности каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041716-89.jpg]; 2) линейная комбинация П. ф. с положительными коэффициентами есть П. ф.; 3) пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей П. ф. суть П. ф.; 4) для того чтобы u(z).была П. ф. в области D, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде предела убывающей последовательности П. ф. [img: http://localhost:8080/file/041716-90.jpg] соответственно классов [img: http://localhost:8080/file/041716-91.jpg], где области [img: http://localhost:8080/file/041716-92.jpg] таковы, что [img: http://localhost:8080/file/041716-93.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041716-94.jpg]; 5) для любой точки [img: http://localhost:8080/file/041716-95.jpg] среднее значение [img: http://localhost:8080/file/041716-96.jpg] по сфере радиуса r, где s2n=2pn/(п-1)! - площадь единичной сферы в [img: http://localhost:8080/file/041716-97.jpg], есть возрастающая функция по r, выпуклая относительно lnr на отрезке [img: http://localhost:8080/file/041716-98.jpg], если шар [img: http://localhost:8080/file/041716-99.jpg] расположен в D, причем [img: http://localhost:8080/file/041716-100.jpg]; 6) при голоморфных отображениях П. ф. переходит в П. ф.; 7) если u(z).- непрерывная П. ф. в области D, Е - замкнутое связное аналитич. одмножество Dи сужение и|Е достигает максимума на Е, то u(z) = const на Е. Имеют значение для приложений также следующие правильные подклассы класса П. ф. Функция u(z) наз. сильно плюрисубгармонической, если существует выпуклая возрастающая функция [img: http://localhost:8080/file/041716-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041716-102.jpg] такая, что j-1(u(z)).есть П. ф. В частности, если j(t)= е t, то получают логарифмически плюрисубгармонические функции. Класс П. ф. и только что названные его подклассы важны для описания различных свойств голоморфных функций и областей комплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/041716-103.jpg], а также и более общих аналитич. ространств (см. [1] - [4], [7]). Напр., класс функций Гартогса Н(D).определяется как. наименьший класс действительных функций в области D, содержащий все функции ln|f(z)|, где f(z) - голоморфная функция в D, и замкнутый относительно следующих операций: [img: http://localhost:8080/file/041716-104.jpg] Полунепрерывные сверху функции Гартогса являются П. ф., но не всякая П. ф. есть функция Гартогса. Если D - область голоморфности, то классы полунепрерывных сверху функций Гартогса [img: http://localhost:8080/file/041716-105.jpg] и П. ф. в Dсовпадают (см. [5], [6]).