Погружение

многообразия - непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/041718-103.jpg] m-мерного многообразия М т в n-мерное многообразие Nn такое, что для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041718-104.jpg] существует окрестность Ux, для к-рой Fесть вложение, т. е. гомеоморфизм на [img: http://localhost:8080/file/041718-105.jpg] В частности, если Fесть гомеоморфизм на F(Mm), то он наз. вложением М т в Nn. Погружение F наз. С l,a - погружением, если М т и Nn суть С l,a -гладкие многообразия ([img: http://localhost:8080/file/041718-106.jpg]) и отображение Fв соответствующих картах задается функциями [img: http://localhost:8080/file/041718-107.jpg] принадлежащими классу гладкости С l,a, а ранг матрицы [img: http://localhost:8080/file/041718-108.jpg] равен тв каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041718-109.jpg] гладкое многообразие - многообразие, наделенное Г-структурой, где псевдогруппа состоит из lраз дифференцируемых отображений, производные к-рых удовлетворяют условию Гёльдера с показателем a). К понятию П. и С l,a - гладкого П. непосредственно примыкают понятия поверхности и С l,a - гладкой поверхности. Погружения Fи Gмногообразия Мв Nназ. эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041718-110.jpg], что F=GФ. Погруженным многообразием наз. пара, состоящая из многообразия Ми его погружения F. m -мерной поверхностьюв n-мерном многообразии Nn наз. класс эквивалентных погружений [img: http://localhost:8080/file/041718-111.jpg]; каждое П. этого класса наз. параметризацией поверхности. Поверхность наз. С l,a -гладкой, если на многообразиях Ми Nможно ввести С l,a -структуры и если среди параметризаций поверхности найдется такая параметризация F, к-рая в ятих структурах есть С l,a -погружение. Теория погруженных многообразий, как правило, особенно в тех случаях, когда рассматриваются вопросы, связанные с геометрией П., изучает свойства, инвариантные относительно введенного выше понятия эквивалентности, и по существу совпадает с теорией поверхностей. Пусть М т есть С l,a -многообразие, [img: http://localhost:8080/file/041719-1.jpg] Всякое М т допускает при [img: http://localhost:8080/file/041719-2.jpg] вложение в евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/041719-3.jpg] и С l,a -погружение в R2m-1 при [img: http://localhost:8080/file/041719-4.jpg]. Если тположительно и не является степенью двойки, то всякое М т допускает С l,a -вложение в [img: http://localhost:8080/file/041719-5.jpg], в то же время при любом m=2s с [img: http://localhost:8080/file/041719-6.jpg] существуют замкнутые гладкие m-мерные многообразия, не допускающие даже топологич. вложения в [img: http://localhost:8080/file/041719-7.jpg] (таково, напр., проективное пространство). Если М т не имеет компактных компонент, то оно допускает С l,a -вложение в [img: http://localhost:8080/file/041719-8.jpg] Ориентируемое m-мерное многообразие при [img: http://localhost:8080/file/041719-9.jpg] допускает С l,a -вложение в [img: http://localhost:8080/file/041719-10.jpg]. Вопрос о возможности погружения m-мерного многообразия в [img: http://localhost:8080/file/041719-11.jpg] при п<2т-1 связан с классами Уитни и Понтрягина классами этого многообразия. Известно также, что каждое С la -гладкое m-мерное многообразие с [img: http://localhost:8080/file/041719-12.jpg] допускает собственное (т. е. такое, что прообраз каждого компактного множества компактен) П. в [img: http://localhost:8080/file/041719-13.jpg] и собственное вложение в [img: http://localhost:8080/file/041719-14.jpg]. Если на М т задана риманова метрика, то часто рассматривают изометрическое погружение М т в [img: http://localhost:8080/file/041719-15.jpg] или другое риманово пространство N". С l,a -гладкое риманово многообразие, [img: http://localhost:8080/file/041719-16.jpg], допускает С la -гладкое изометрическое П. в нек-рое Rn. В случае компактного М т число n=(2m+l)(6m+14). Наоборот, С la -гладкое П. [img: http://localhost:8080/file/041719-17.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041719-18.jpg] индуцирует на М т С l,a -гладкую риманову метрику [4].