Погруженных многообразий геометрия

- теория, изучающая внешнюю геометрию и связь между внешней и внутренней. геометрией подмногообразий евклидова или риманова пространства. П. м. г. является обобщением классич. дифференциальной геометрии поверхностей в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041719-19.jpg]. Локально внутренняя и внешняя геометрии погружения многообразия обычно описываются соответственно с помощью первой и второй квадратичных форм. Для погружений m-мерного многообразия М т в многообразие Nn существует понятие эквивалентности (см. Погружение многообразия). В П. м. г. изучаются свойства, одинаковые у эквивалентных погружений, т. е. свойства поверхности Fm, определяемой погружением f. В связи с этим в геометрических вопросах погружение и поверхность не различаются. Погружение f индуцирует отображение [img: http://localhost:8080/file/041719-20.jpg] касательных расслоений. Первая квадратичная (фундаментальная) формам поверхности Fопределяется на ТМ т равенством [img: http://localhost:8080/file/041719-21.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041719-22.jpg] - риманова метрика в Nn. Здесь и далее векторы [img: http://localhost:8080/file/041719-23.jpg] не различаются в обозначениях с их образом df(X). Квадратичная форма gопределяет на М т структуру риманова пространства. [img: http://localhost:8080/file/041719-24.jpg]; свойства [img: http://localhost:8080/file/041719-25.jpg] составляют предмет внутренней геометрии поверхности F. Если {xk}, {уa}, k=1,...,т,a=1,..., п,- локальные координаты в М т и Nn, то погружение f задается параметрич. уравнениями [img: http://localhost:8080/file/041719-26.jpg]. В локальных координатах [img: http://localhost:8080/file/041719-27.jpg] где {Xi},{Yj} - координаты векторов X, Y, [img: http://localhost:8080/file/041719-28.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/041719-29.jpg] - компоненты метрич. тензора [img: http://localhost:8080/file/041719-30.jpg] риманова пространства Nn. К внутренней геометрии поверхности Fпринадлежат такие понятия, как длина кривой, объем области, связность Леви-Чивита [img: http://localhost:8080/file/041719-31.jpg] внутренней метрики, ее преобразования кривизны R(X, Y)Zи т. д. Относящиеся сюда вычислит, формулы см. в ст. Риманова геометрия. Вторая (фундаментальная) форма Нопределяется равенством [img: http://localhost:8080/file/041719-32.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041719-33.jpg] - связности Леви-Чивита на Nn, М т соответственно. Фактически Нзависит не от векторных полей X, Y, а лишь от их значений в точке ри является билинейным симметричным отображением [img: http://localhost:8080/file/041719-34.jpg] где vMm - нормальное расслоение М т в Nn. Для каждого единичного вектора [img: http://localhost:8080/file/041719-35.jpg] равенства <Н(Х, Y),x>p = Ax(X, Y)p = <Ax(X), Y> р определяют вторую квадратичную форму hx и второй фундаментальный тензор Ax. В локальных координатах компоненты hij(x) формы hx имеют вид [img: http://localhost:8080/file/041719-36.jpg] где {xb} - координаты вектора x. Для формы hx обычным образом (т. е. так же, как для поверхности в евклидовом пространстве R3) определяют главные кривизны, главные направления (зависящие от x) и другие связанные с ними понятия. Исходя из элементарных симметрия, функций, можно строить различные функции главных кривизн. Таковы, напр., средняя кривизна [img: http://localhost:8080/file/041719-37.jpg] где {xi} - ортонормированный набор нормалей, а Ki(x) - главные кривизны формы hi;кривизна Чжэня - Лашофа [img: http://localhost:8080/file/041719-38.jpg] где wl; - объем сферы Sl;длина второй основной формы [img: http://localhost:8080/file/041719-39.jpg] (см. [1] - [3]). Значение первой и второй квадратичных форм поверхности в точке ропределяет ее вблизи рс точностью до бесконечно малых 2-го порядка. Каждому [img: http://localhost:8080/file/041719-40.jpg], соответствует соприкасающийся параболоид. (Для поверхности в евклидовом пространстве - это соприкасающийся параболоид для проекции поверхности на (m+1)-плоскость, определяемую (ТМ т) р и x.) При т=п-1 (т. е. в случае гиперповерхности) форма hx единственна с точностью до знака. В этом случае вторые фундаментальную и квадратичную формы не различают, и теория приобретает большое сходство с классич. теорией поверхностей в [img: http://localhost:8080/file/041719-41.jpg]. Основные уравнения. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не являются независимыми. Они связаны уравнениями Гаусса и Петер-сона - Кодацци - Майнардя. Уравнения Гаусса [img: http://localhost:8080/file/041719-42.jpg] выражают преобразование кривизны поверхности Fчерез преобразование кривизны Nn и коэффициенты квадратичных форм (здесь [img: http://localhost:8080/file/041719-43.jpg] - скобка Пуассона). Инвариантная форма уравнений Петерсона - Кодацци - Майнарди связана с понятием риманова расслоения над [img: http://localhost:8080/file/041719-44.jpg]. Расслоение Е(l) l -мерных плоскостей над римановым многообразием [img: http://localhost:8080/file/041719-45.jpg] наз. римановым, если в Е(l).задана риманова метрика [img: http://localhost:8080/file/041719-46.jpg] и риманова (т. е. согласованная с метрикой) связность [img: http://localhost:8080/file/041719-47.jpg] Билинейное g-симметричное отображение [img: http://localhost:8080/file/041719-48.jpg] наз. вторым фундаментальным тензором в Е;равенство [img: http://localhost:8080/file/041719-49.jpg] определяет вторую фундаментальную форму в Е, ассоциированную с Ax. Уравнения [img: http://localhost:8080/file/041719-50.jpg] (2) [img: http://localhost:8080/file/041719-51.jpg] (3) где [img: http://localhost:8080/file/041719-52.jpg] - форма кривизны связности D, наз. уравнениями Петерсона - Кодацци -Майнарди. Уравнения (3) часто наз. уравнениями Риччи (координатную запись уравнений (2) - (3) см. в [1]). Уравнения (2) - (3) всегда выполнены, если Е(l) - нормальное расслоение М т в Nn и DXx равно проекции [img: http://localhost:8080/file/041719-53.jpg] на (vМ т) р. Имеется следующее обобщение Бонне теоремы (см. [2]). Пусть Е(l) - риманово расслоение над односвязным [img: http://localhost:8080/file/041719-54.jpg] и пусть на Е(l).задан второй фундаментальный тензор А x. Если при этом выполняются соотношения (1) - (3), то существует изометрич. погружение [img: http://localhost:8080/file/041719-55.jpg] в евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/041719-56.jpg] с нормальным расслоением Е(l). Такое погружение единственно в следующем смысле: если f, f' - изометрич. погружении [img: http://localhost:8080/file/041719-57.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041719-58.jpg] с нормальными расслоениями Е, Е', оснащенными, как и выше, и нек-рая изометрия [img: http://localhost:8080/file/041719-59.jpg] накрывается отображением [img: http://localhost:8080/file/041719-60.jpg], согласованным с оснащенным, то существует такая изометрия Ф пространства [img: http://localhost:8080/file/041719-61.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041719-62.jpg] Классы погружений. Многомерная П. м. г. возникла и долгое время развивалась как теория существования изометрич. погружений римановых многообразий как правило в [img: http://localhost:8080/file/041719-63.jpg], реже - в пространство постоянной кривизны К(см. Изометрическое погружение). Что касается внешне геометрич. сврйств и связей между внешней и внутренней геометрией поверхностей, то она подробно изучена только для двумерных поверхностей в [img: http://localhost:8080/file/041719-64.jpg]. В этом случае существует классификация точек поверхности, с помощью к-рой двумерные поверхности разбиваются на классы: выпуклые поверхности, седловые поверхности и развертывающиеся поверхности. Именно эти классы являются основным объектом изучения в дифференциальной геометрии в целом. В многомерном случае такая классификация точек поверхности неизвестна (1983). Известны только нек-рые классы многомерных поверхностей: k-выпуклые, k-седловые и k-развертывающиеся. k- выпуклые поверхности. Поверхность Fm в [img: http://localhost:8080/file/041719-65.jpg] наз. k-выпуклой, если для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041719-66.jpg] существует нормаль [img: http://localhost:8080/file/041719-67.jpg], для к-рой hp(x).положительно определена, и для любого k-мерного направления [img: http://localhost:8080/file/041719-68.jpg] найдется в sk двумерное направление s2 такое, что hp(x)(X, Y)>0 (либо hp(x)(X, Y) [img: http://localhost:8080/file/041719-69.jpg] 0) для каждого [img: http://localhost:8080/file/041719-70.jpg], при [img: http://localhost:8080/file/041719-71.jpg]. 2-выпуклая поверхность Fm в [img: http://localhost:8080/file/041719-72.jpg] есть выпуклая гиперповерхность в [img: http://localhost:8080/file/041719-73.jpg] (см. [4]). Внутренняя метрика k-выпуклой поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рдля каждого k-мерного направления sk касательного пространства найдется двумерное направление [img: http://localhost:8080/file/041719-74.jpg], в к-ром риманова кривизна строго положительна. k-седловые поверхности. Поверхность F т в [img: http://localhost:8080/file/041719-75.jpg] наз. k-cедловой, если каждой ее точке рдля каждой нормали [img: http://localhost:8080/file/041719-76.jpg] число собственных значений hp(x) одного знака не превосходит [img: http://localhost:8080/file/041719-77.jpg]. Двумерная k-седловая поверхность есть обычная седловая поверхность в [img: http://localhost:8080/file/041719-78.jpg], от к-рой нельзя отсечь "горбушку" гиперплоскостью. Внутренняя метрика k-седловой поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рдля каждого k-мерного направления sk касательного пространства найдется двумерное направление [img: http://localhost:8080/file/041719-79.jpg], в к-ром риманова кривизна не положительна. Если k-седловая поверхность полна в [img: http://localhost:8080/file/041719-80.jpg], то ее гомологии Н i(F т) = 0 при [img: http://localhost:8080/file/041719-81.jpg] (см.[4|, [5]). Полная m-мерная k-седловая поверхность Fm с неотрицательной кривизной Риччи есть цилиндр с (т- -k+1)-мерной образующей. k-pазвертывающиеся (k-параболические) поверхности. Поверхность Fm в [img: http://localhost:8080/file/041719-82.jpg] наз. k- раавертывающейся, если в каждой ее точке рсуществует k-мерное направление sk [img: http://localhost:8080/file/041719-83.jpg] (TFm)p, к-рое состоит из собственных векторов, принадлежащих нулевому собственному значению матрицы второй квадратичной формы относительно каждой нормали в данной точке. Внутренняя метрика k-развертывающейся поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рнайдется подпространство sk касательного пространства (TFm)p размерности kтакое, что R ХY=0 для любого вектора [img: http://localhost:8080/file/041719-84.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041719-85.jpg] - любой вектор касательного пространства, RXY- оператор кривизны. Если k-развертывающаяся поверхность Fm полна в Rn и несет на себе внутреннюю метрику неположительной кривизны Риччи, то она является цилиндром с k-мерной образующей [6]. Свободные погружения. Если образ Н р(Х, Y).в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041719-86.jpg] имеет максимально возможную размерность т(т+1)/2, то погружение наз. свободным. В этом случае первые и вторые производные радиус-вектора погружения Fm образуют линейно независимую систему. В классе свободных погружений существует изометрич. погружение в размерность n>m(m+1)/2+3m+5, но при этом полностью теряется связь между внутренней и внешней геометрией. Напр., два свободных изометрич. погружения m-мерного многообразия М т в [img: http://localhost:8080/file/041719-87.jpg], n>m(m+1)/2+Зm+5, можно соединить гомотопией, состоящей из свободных изометрич. погружений М m (см. [7]). Погружения с малой коразмерностью. Если коразмерность qпогружения мала, то из условий на внутреннюю метрику многообразия вытекают условия на вторую квадратичную форму поверхности. А из свойств второй квадратичной формы далее выводятся топологические и внешне геометрич. свойства поверхности. В частности, получаются теоремы непогружаемости. Так, если М т с секционной кривизной [img: http://localhost:8080/file/041719-88.jpg] изометрически погружено в [img: http://localhost:8080/file/041719-89.jpg] с q<m, то М т есть (q+1)-седловая поверхность и ее гомологии (в случае полноты) Hk=0 при [img: http://localhost:8080/file/041719-90.jpg] (см. [5]). В частности, компактное М т с [img: http://localhost:8080/file/041719-91.jpg] не может быть погружено в [img: http://localhost:8080/file/041719-92.jpg] (см. [8], [9]). Если же К s<0, то М т даже локально непогружаемо в [img: http://localhost:8080/file/041719-93.jpg] (см. [9]). Аналогично, М т с Ks<1 непогружаемо в сферу S2m-2 радиуса 1. Компактное Fm в S2m-1 имеет нулевую эйлерову характеристику и компактное параллелизуемое накрывающее.многообразие, если К s<1 (см. [10]). О поверхности Fm в [img: http://localhost:8080/file/041719-94.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041719-95.jpg] и К s<0 известно, что ее нормальные Понтрягина классы удовлетворяют условию [img: http://localhost:8080/file/041719-96.jpg] Если К s>0, то из [img: http://localhost:8080/file/041719-97.jpg] следует, что Fm есть (q+1)-выпуклая поверхность [9]. В частности, при q=1- это 2-выпуклая поверхность. Если Ks>0 и q=2, то компактная поверхность Fm, [img: http://localhost:8080/file/041719-98.jpg], имеет гомологии сферы [11]. Если Fm в [img: http://localhost:8080/file/041719-99.jpg] имеет неположительную секционную кривизну, то она - (т-q(q+1))-развертывающаяся и, в случае полноты, F т есть цилиндр с (т-q(q+1))-мерной образующей [10]. Если же М т= [img: http://localhost:8080/file/041719-100.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041719-101.jpg], то погружение многообразия М т в [img: http://localhost:8080/file/041719-102.jpg] есть (т-2k-q)-развертывающаяся поверхность [8] и, в случае полноты, Fm есть цилиндр с (т-2k-q)-мерной образующей. При более общих предположениях компактная поверхность [img: http://localhost:8080/file/041719-103.jpg] есть произведение гиперповерхностей [12].