Подвижного репера метод

- дифференциально-геометрический метод локального исследования подмногообразий различных однородных пространств, исходным моментом к-poro является отнесение самого подмногообразия и всех его геометрич. объектов к возможно более общему (подвижному) реперу. П. р. м. включает в себя последующий процесс канонизации репера - инвариантного присоединения к каждой точке подмногообразия единственного репера с целью получения дифференциальных инвариантов, характеризующих подмногообразие с точностью до преобразований вмещающего его однородного пространства. В наиболее общей форме П. р. м. был предложен Г). Картаном (Е. Cartan, см. |1]), давшим разнообразные образцы его применений. Позднее метод получил широкое распространение и развитие (см. Продолжений и охватов метод). Аналитич. основу П. р. м. составляют инвариантные линейные дифференциальные формы группы Ли и их структурные уравнения, а также теория представлений групп Ли как групп преобразований. В современной геометрии основные положения П. р. м. потребовали уточнений и получили оформление в терминах теории расслоенных пространств. Пусть Х п есть n-мерное однородное пространство и Gесть r-мерная группа Ли его преобразований (Gдействует слева). Пусть Xn=G/H - представление, где [img: http://localhost:8080/file/041719-107.jpg] - группа изотропии (стационарности) нек-рой точки [img: http://localhost:8080/file/041719-108.jpg], k=1, 2,..., п,a=n+1,..., r,- базис левоинвариантных векторных полей на Gтакой, что на Н еa составляют также базис левоинвариантных векторных полей подгруппы Ли H. Базису (е k, еa).отвечает сопряженный базис левоинвариантных линейных дифференциальных форм (qk, qa) на группе Ли G. Канонич. проекция [img: http://localhost:8080/file/041719-109.jpg], сопоставляющая точкам [img: http://localhost:8080/file/041719-110.jpg] левые классы смежности [img: http://localhost:8080/file/041719-111.jpg] группы G по подгруппе Н=Н x0, вносит в группу Ли Gструктуру главного H-расслоения с базой Х п и структурной группой Нразмерности r-п. При таком представлении Gвекторные поля е a составляют базис фундаментальных векторных полей расслоения [img: http://localhost:8080/file/041719-112.jpg], а векторные ноля ek натягивают некрое трансверсальное к слоям расслоения [img: http://localhost:8080/file/041719-113.jpg] n-распределение. В соответствии с этим линейные дифференциальные формы qk являются полубазовыми формами расслоения [img: http://localhost:8080/file/041719-114.jpg] и образуют вполне интегрируемую подсистему форм в системе (qk, qa). Слои [img: http://localhost:8080/file/041719-115.jpg] являются интегральными многообразиями максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа qk=0. Системой реперов в классической дифференциальной геометрии (евклидовой, аффинной, проективной и т. д.) наз. множество фигур пространства Х п, находящееся в биективном соответствии с множеством преобразований пространства Х n (или, что то же самое, с множеством элементов фундаментальной группы Gданного пространства), при этом любой репер Rиз данной системы можно получить из нек-рого начального R0 с помощью только одного преобразования: [img: http://localhost:8080/file/041719-116.jpg] Учитывая, что главная роль подвижного репера Lg(R0)=Rg. по отношению к неподвижному R0 состоит в том, чтобы определять произвольное преобразование Lg однородного пространства Х п, можно отождествить множество реперов {Rg} с множеством элементов группового пространства G, приобретающих таким образом смысл абстрактных реперов, обслуживающих любое однородное пространство с данной фундаментальной группой G. Пусть задано нек-рое гладкое подмногообразие [img: http://localhost:8080/file/041719-117.jpg] размерности т. Реперами нулевого порядка подмногообразия Мназ. элементы ограничения [img: http://localhost:8080/file/041719-118.jpg] расслоения [img: http://localhost:8080/file/041719-119.jpg] на М, как на новую базу. Это значит, что главное расслоение [img: http://localhost:8080/file/041719-120.jpg] вложено в G и определяется в нем как полный прообраз [img: http://localhost:8080/file/041719-121.jpg]. Так как ле-воинвариантные формы qk, qa на группе Ли G подчиняются уравнениям Маурера - Картава [img: http://localhost:8080/file/041719-122.jpg] (1) где [img: http://localhost:8080/file/041719-123.jpg] - структурные константы группы Ли, то ограничение форм qk, qa на подрас-слоение G(p, М), т. е. формы wk, wa, будет подчиняться таким же уравнениям, но, сверх того, среди форм wk возникнут линейные зависимости [img: http://localhost:8080/file/041719-124.jpg] (2) где wa - формы, оставшиеся вместе с wa линейно независимыми на главном расслоенном пространстве [img: http://localhost:8080/file/041719-125.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/041719-126.jpg] - функции, также определенные на расслоении реперов нулевого порядка [img: http://localhost:8080/file/041719-127.jpg] Функции [img: http://localhost:8080/file/041719-128.jpg] являются координатами касательной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041719-129.jpg] подмногообразия [img: http://localhost:8080/file/041719-130.jpg], зависящими от точки [img: http://localhost:8080/file/041719-131.jpg] и репера [img: http://localhost:8080/file/041719-132.jpg] Касательные плоскости [img: http://localhost:8080/file/041719-133.jpg] образуют сечение [img: http://localhost:8080/file/041719-134.jpg] грассманова расслоения [img: http://localhost:8080/file/041719-135.jpg] m-плоскостей, проходящих через точки подмногообразия [img: http://localhost:8080/file/041719-136.jpg]. Расслоение [img: http://localhost:8080/file/041719-137.jpg] является присоединенным к главному расслоению [img: http://localhost:8080/file/041719-138.jpg] Структура функций [img: http://localhost:8080/file/041719-139.jpg] характеризуется уравнениями [img: http://localhost:8080/file/041719-140.jpg] (3) явный вид к-рых можно получить внешним дифференцированием уравнений (2) с помощью (1) и последующим применением леммы Картана. Функций [img: http://localhost:8080/file/041719-141.jpg] являются относительными координатами 1-струи [img: http://localhost:8080/file/041719-142.jpg] сечения f по отношению к подвижному реперу [img: http://localhost:8080/file/041719-143.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/041719-144.jpg]. Геометрич. объект [img: http://localhost:8080/file/041719-145.jpg] образует также сечение [img: http://localhost:8080/file/041719-146.jpg] соответствующего расслоенного пространства [img: http://localhost:8080/file/041719-147.jpg], присоединенного к главному расслоению [img: http://localhost:8080/file/041719-148.jpg]. Аналогичным образом возникает сечение [img: http://localhost:8080/file/041719-149.jpg] с координатами [img: http://localhost:8080/file/041719-150.jpg] образующего его геометрич. объекта, а также его последующие продолжения [img: http://localhost:8080/file/041719-151.jpg], к-рым соответствуют дифференциальные продолжения уравнений (3). До тех пор пока расслоение [img: http://localhost:8080/file/041719-152.jpg], к-рому принадлежит сечение [img: http://localhost:8080/file/041719-153.jpg], является однородным, возможна редукция [img: http://localhost:8080/file/041719-154.jpg] главного расслоения [img: http://localhost:8080/file/041719-155.jpg] реперов к нек-рой подгруппе [img: http://localhost:8080/file/041719-156.jpg], определяемая по Картану с помощью нек-рой фиксации относительных координат [img: http://localhost:8080/file/041719-157.jpg] геометрич. объекта [img: http://localhost:8080/file/041719-158.jpg], не зависящей от точки [img: http://localhost:8080/file/041719-159.jpg] Так определяется частичная канонизация репера. Реперы [img: http://localhost:8080/file/041719-160.jpg] наз. полуканоническими реперами порядка q+1 данного подмногообразия [img: http://localhost:8080/file/041719-161.jpg]. Если же следующее продолжение дает геометрич. объекты, группа стационарности к-рых содержит лишь тождественное преобразование, то возможна фиксация лишь части координат геометрич. объекта сечения [img: http://localhost:8080/file/041719-162.jpg], не зависящая от точки х, после чего оставшаяся часть координат L геометрич. объекта [img: http://localhost:8080/file/041719-163.jpg] зависит только от [img: http://localhost:8080/file/041719-164.jpg]. Таким образом возникает сечение [img: http://localhost:8080/file/041719-165.jpg] расслоения реперов нулевого порядка подмногообразия [img: http://localhost:8080/file/041719-166.jpg]. Репер R=s(x).этого сечения наз. каноническим репером подмногообразия [img: http://localhost:8080/file/041719-167.jpg], или сопровождающим репером этого подмногообразия. Описанный выше процесс продолжения уравнений (3) и выбранный способ фиксации функций [img: http://localhost:8080/file/041719-168.jpg] приводит к уравнениям [img: http://localhost:8080/file/041719-169.jpg] (4) связывающим линейные формы wk, wa на сечении s(M). Поле канонич. репера строится не однозначно, а зависит от произвола фиксации относительных координат геометрич. объекта [img: http://localhost:8080/file/041719-170.jpg]. Важно лишь то, что часть коэффициентов уравнения (4) имеет постоянные (при желании наиболее простые) числовые значения, тогда как другая часть их образует дифференциальные инварианты подмногообразия [img: http://localhost:8080/file/041719-171.jpg], определяющие его с точностью до преобразования в Х п. Канонич. реперы сечения s(M).являются аналогом классич. примера - сопровождающего репера Френе кривой евклидова пространства, а уравнения (4) соответствуют уравнениям Френе кривой. На пути канонизации репера могут возникать осложнения, связанные с неоднородностью расслоений [img: http://localhost:8080/file/041719-172.jpg] и разнотипностью в этом смысле различных подмногообразий Мв Х п и даже их отдельных кусков. На этом и основывается классификация различных типов точек и различных классов подмногообразий в Х n. Благодаря этим особенностям П. р. м. сыграл плодотворную роль в изучении подмногообразий в разнообразных однородных пространствах и, кроме того, указал путь к развитию современных методов исследования самых общих дифференциально-геометрич. структур на гладких многообразиях.