Подчинения принцип

одна из форм Линделёфа принципа, использующая понятие подчинения функций. Пусть w(z) -любая функция, регулярная в круге |z|<1 и удовлетворяющая условию: w(0)=0, |w(z)|<l в |z|<1; пусть функция F(z)мероморфна в |z|<l. Если функция f(z) имеет вид f(z)=F(w(z)), то f(z) наз. подчиненной функции F(z) в круге |z|<1, a F(z) - подчиняющей функцией. Это отношение подчинения обозначается через f(z) [img: http://localhost:8080/file/041722-1.jpg] F(z). В простейшем случае, когда F(z) - однолистная функция в |z|<l, указанное отношение означает просто, что f(0)=F(0) и что функция f(z) не принимает в круге |z|<1 тех значений, к-рых в нем не принимает функция F(z). Имеют место следующие основные теоремы. Теорема 1. Пусть функция w=F(z) мероморфна в круге |z|<1 и отображает его на риманову поверхность G(F). Пусть Gr(F) - часть G(F), соответствующая |z| [img: http://localhost:8080/file/041722-2.jpg] r, r<1. Если f(z) [img: http://localhost:8080/file/041722-3.jpg] F(z), то значения f(z) в 1 [img: http://localhost:8080/file/041722-4.jpg] г(при аналитическом продолжении из f(0)=F(0)).лежат в Gr(F), причем граничные точки Gr(F).достигаются только для f(z)=F(ez), |e| = l (см. [2]). Теорема 2. Если f(z) [img: http://localhost:8080/file/041722-5.jpg] F(z).и F(z).регулярна в |z| [img: http://localhost:8080/file/041722-6.jpg] r, r<1, то, полагая [img: http://localhost:8080/file/041722-7.jpg] имеем [img: http://localhost:8080/file/041722-8.jpg] (см. [1]). Теорема 3. Если f(z) [img: http://localhost:8080/file/041722-9.jpg] F(z).и F(z) регулярна в z=0, то для коэффициентов разложений f(z) [img: http://localhost:8080/file/041722-10.jpg] имеем [img: http://localhost:8080/file/041722-11.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041722-12.jpg] (см. [2]). Общая теория подчинения полезна при рассмотрении вопроса о множестве значений, принимаемых (или выпускаемых) аналитич. цией. Отношение подчинения можно использовать в двух различных направлениях. Во-первых, можно исходить из заданной функции F(z).и изучать свойства всех функций f(z), подчиненных F(z). Если при этом подчиняющая функция F(z).полностью известна, то известна и область Gr(F), в к-рой лежат значения f(z) (теорема 1), и верхняя граница интегральных средних М l(r, f) (теорема 2). Если, кроме того, F(z).регулярна в z=0, то имеем верхние границы для коэффициентов функции f(z) (теорема 3). Во-вторых, можно рассмотреть какую-либо мероморфную в круге |z|<l функцию f(z), из свойств к-рой следует невозможность ее подчинения в |z|<1 надлежащей функции F(z). Если при этом F(z), напр., однолистна, то f(z) необходимо принимает в |z|<l значения вне G(F). Эти идеи использования отношения подчинения и выражают П. п. П. п. можно распространять и на многосвязные области (см. [3]).