Показательная функция

экспоненциальная функция, экспонента,- функция [img: http://localhost:8080/file/041722-68.jpg] (где е- основание натуральных логарифмов- ненерово число), для любого значения z (действительного или комплексного) определяемая соотношением [img: http://localhost:8080/file/041722-69.jpg] (1) Она обладает следующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/041722-70.jpg] при любых значениях z1 и z2. При действительных хграфик П. ф. у=е х- експоненциальная кривая - проходит через точку (0, 1) и асимптотически приближается к оси Ох (см. рис.). В курсе математич. анализа рассматривается П. ф. у = а х при действительных хи a>0, [img: http://localhost:8080/file/041722-71.jpg]; она связана с (основной) П. ф. у=е х соотношением [img: http://localhost:8080/file/041722-72.jpg] П. ф. у-а х определена при всех х, положительна, монотонна (возрастает, если а>1, и убывает, если 0<а<1), непрерывна, бесконечно дифференцируема; при этом [img: http://localhost:8080/file/041722-73.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041722-74.jpg] в частности [img: http://localhost:8080/file/041722-75.jpg] в окрестности каждой точки П. ф. может быть разложена в степенной ряд, напр.: [img: http://localhost:8080/file/041722-76.jpg] (2) График П. ф. у=а х симметричен графику П. ф. y=(1/a)x относительно оси ординат. Если a>1, то П. ф. а х при [img: http://localhost:8080/file/041722-77.jpg] возрастает быстрее любой степени х, а при [img: http://localhost:8080/file/041722-78.jpg] стремится к нулю быстрее любой степени 1/х, т. е. при любом натуральном b>0 [img: http://localhost:8080/file/041722-79.jpg] Обратной к П. ф. является логарифмическая функция. При комплексных a и z П. ф. связана с (основной) П. ф. w=ez формулой [img: http://localhost:8080/file/041722-80.jpg] где Ln a - логарифм комплексного числа а. П. ф. w=е z- целая трансцендентная функция и является аналитич. родолжением П. ф. у=е х с действительной оси в комплексную плоскость. Помимо формулы (1), П. ф. может быть определена также с помощью ряда (2), сходящегося во всей комплексной плоскости, или по формуле Эйлера [img: http://localhost:8080/file/041722-81.jpg] если z= x+iy, ТО [img: http://localhost:8080/file/041722-82.jpg] П. ф. ez- периодическая с периодом 2pi: [img: http://localhost:8080/file/041722-83.jpg] П. ф. е z принимает все комплексные значения, за исключением нуля: уравнение ez=a имеет бесконечное число решений для любого комплексного числа [img: http://localhost:8080/file/041723-1.jpg] Эти решения находятся по формуле [img: http://localhost:8080/file/041723-2.jpg] П. ф. ez является одной из основных элементарных функций. Через нее выражаются, напр., тригонометрич. функции и гиперболич. функции. Ю. В. Сидоров.