Поливектор

р- вектор, векторного пространства V - элемент р-й внешней степени LPV пространства Vнад полем k(см. Внешняя алгебра). p -вектор может пониматься как кососимметризованный рраз контравариантный тензор на V. Любая линейно независимая система векторов х 1,..., х р из Vопределяет ненулевой р-вектор [img: http://localhost:8080/file/041724-60.jpg] такие П. наз. разложимыми, или простыми (часто - просто П.). При этом линейно независимые системы х 1,..., х р и y1..., у р порождают одно и то же подпространство в Vв том и только в том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041724-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041724-62.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041724-63.jpg]. Для любого ненулевого поливектора [img: http://localhost:8080/file/041724-64.jpg] его аннулятор [img: http://localhost:8080/file/041724-65.jpg] есть подпространство размерности [img: http://localhost:8080/file/041724-66.jpg], причем поливектор tразложим тогда и только тогда, когда dim Ann t=p. Разложимые р- векторы n-мерного пространства Vобразуют коническое алгебраич. многообразие в LpV;. соответствующее проективное алгебраич. многообразие есть Грассмана многообразие. Любой ненулевой n-вектор или (п-1)-вектор в n-мерном пространстве Vразложим; бивектор tразложим тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041724-67.jpg] Если v1,..., vn - базис пространства V и х i [img: http://localhost:8080/file/041724-68.jpg], то координатами поливектора [img: http://localhost:8080/file/041724-69.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041724-70.jpg] в базисе [img: http://localhost:8080/file/041724-71.jpg] пространства LPV являются миноры [img: http://localhost:8080/file/041724-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041724-73.jpg], матрицы [img: http://localhost:8080/file/041724-74.jpg]. В частности, при р=п [img: http://localhost:8080/file/041724-75.jpg] Если фиксировать ненулевой n-вектор [img: http://localhost:8080/file/041724-76.jpg], то возникает двойственность между р-векторамй и (п- р)-векторами, т. е. естественный изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041724-77.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/041724-78.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041724-79.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041724-80.jpg] Пусть k=R и в Vзадано скалярное произведение, тогда в LPV индуцируется скалярное произведение, обладающее следующим свойством: для любого ортонормированного базиса v1..., vn в V базис [img: http://localhost:8080/file/041724-81.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041724-82.jpg] в LPV также ортонормирован. Скалярный квадрат [img: http://localhost:8080/file/041724-83.jpg] разложимого поливектора [img: http://localhost:8080/file/041724-84.jpg] совпадает с квадратом объема параллелепипеда в V, натянутого на векторы х 1,..., xp. Если фиксировать в n-мерном евклидовом пространстве Vориентацию (что равносильно выбору n-вектора w, для к-рого (w, w)=1), то указанная выше двойственность приводит к естественному изоморфизму [img: http://localhost:8080/file/041724-85.jpg] такому, что [img: http://localhost:8080/file/041724-86.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041724-87.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041724-88.jpg]. В частности, (п-1)-вектору [img: http://localhost:8080/file/041724-89.jpg] соответствует вектор [img: http://localhost:8080/file/041724-90.jpg], наз. векторным произведением векторов xt,..., xn-1.