Полигармоническая функция

гипергармоническая функция, метагармоническая функция, порядка т - функция u(x)=u(xl,..., х n).действительных переменных, определенная в области Dевклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041724-91.jpg], имеющая непрерывные частные производные до 2m-го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в Dполигармоническому уравнению [img: http://localhost:8080/file/041724-92.jpg] где D - оператор Лапласа. При m=1 получаются гармонические функции, при m=2 - бигармонические функции. Каждая П. ф. есть аналитич. ция от координат xj. Нек-рые другие свойства гармонич. функций также переносятся с соответствующими изменениями на П. ф. Для П. ф. любого порядка m>1 обобщаются представления при помощи гармонич. функций, известные для бигармонич. функций (см. [1] - [5]). Напр., для П. ф. идвух переменных справедливо представление [img: http://localhost:8080/file/041724-93.jpg] где wk, k=0,..., m-1 - гармонич. функции в области D. Для того чтобы функция u(x1 x2).двух переменных была П. ф., необходимо и достаточно, чтобы она была действительной (или мнимой) частью полианалитической функции. Основная краевая задача для П. ф. порядка m>1 состоит в следующем: найти П. ф. и=и (х).в области D, непрерывную вместе с производными до (т-1)-го порядка включительно в замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/041724-94.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/041724-95.jpg] и удовлетворяющую на границе Сусловиям: [img: http://localhost:8080/file/041724-96.jpg] (*) где ди/дп - производная по нормали к С, a f0(y),..., fm-1(y) - заданные достаточно гладкие функции на достаточно гладкой границе С. Многие исследования посвящены решению задачи (*) в шаре пространства Rn (см. [1], [6]). Для решения задачи (*) в случае произвольной области применялся метод интегральных уравнений, а также различные вариационные методы (см. [1], [6]).