Полилинейная форма

n-линейная форма, на унитарном A-модуле Е- полилинейное отображение [img: http://localhost:8080/file/041724-123.jpg] (здесь А - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей). П. ф. наз. также полилинейной функцией (п-л инейной функцией). Поскольку П. ф.- частный случай полилинейных отображений, можно говорить о симметрических, кососимметричееких, знакопеременных, симметризованных и кососимметризованных П. ф. Напp., определитель квадратной матрицы порядка пнад А- это кососимметризованная (и тем самым знакопеременная) n-линейная форма на А n, n -линейные формы на Еобразуют А-модуль Ln(E, А), естественно изоморфный модулю [img: http://localhost:8080/file/041724-124.jpg] всех линейных форм на [img: http://localhost:8080/file/041724-125.jpg]. В случае n=2 (n=3) говорят о билинейных формах (трилинейных формах). n-линейные формы на Етесно связаны с праз ковариантными тензорами, т. е. элементами модуля. [img: http://localhost:8080/file/041724-126.jpg]. Точнее, имеется линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/041724-127.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/041724-128.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/041724-129.jpg]. Если модуль Есвободен, то g инъективно, а если Ек тому же конечно порожден, то и биективно. В частности, n-линейные формы на конечномерном векторном пространстве над полем отождествляются с праз ковариантными тензорами. Для любых форм [img: http://localhost:8080/file/041724-130.jpg] определяется их тензорное произведение [img: http://localhost:8080/file/041724-131.jpg] формулой [img: http://localhost:8080/file/041724-132.jpg] Для симметризованных П. ф. определено также симметрич. произведение [img: http://localhost:8080/file/041724-133.jpg] а для кососимметризованных П. Эти операции распространяются на модуль L*(Е, А)= [img: http://localhost:8080/file/041724-135.jpg], где L0(E, A)=A, L1(E, А)=Е*, модуль симметризованных форм [img: http://localhost:8080/file/041724-136.jpg] А). и модуль кососимметризованных форм La(E, A) [img: http://localhost:8080/file/041724-137.jpg] соответственно, превращая их в ассоциативные алгебры с единицами. Если Е - конечно порожденный свободный модуль, то отображения gn определяют изоморфизм тензорной алгебры Т(Е*). на L*(E, А).и внешней алгебрыL(Е*). на алгебру La(E, А), совпадающую в этом случае с алгеброй знакопеременных форм. Если А - поле характеристики 0, то имеется также изоморфизм симметрич. алгебры S(Е*).на алгебру Ls(E, А).симметрич. форм. Всякой П. ф. [img: http://localhost:8080/file/041724-138.jpg] соответствует функция [img: http://localhost:8080/file/041724-139.jpg], заданная формулой [img: http://localhost:8080/file/041724-140.jpg] Функции вида wn(u) наз. формами степени n на Е;если Е - свободный модуль, то в координатах относительно произвольного базиса они задаются однородными многочленами степени п. В случае n=2 (n=3) получаются квадратичные формы и кубические формы на Е. Форма F=w(и).полностью определяет симметризацию s п и формы [img: http://localhost:8080/file/041724-141.jpg], имеющую вид [img: http://localhost:8080/file/041724-142.jpg] В частности, для п=2 [img: http://localhost:8080/file/041724-143.jpg] Отображения gn и gn определяют гомоморфизм алгебры S(Е*).на алгебру всех полиномиальных функций Р (Е), к-рый является изоморфизмом, если Е - свободный конечно порожденный модуль над бесконечной областью целостности А.