Полиномиальное распределение

мультиномиальное распределение, - совместное распределение случайных величин Xi,..., Xk, к-рое задается для любого набора целых неотрицательных чисел л 1;..., nk, удовлетворяющих условию n1+... + nk=n, kj=0, 1,..., п, j=1,..., k, формулой [img: http://localhost:8080/file/041725-1.jpg] (*) где [img: http://localhost:8080/file/041725-2.jpg] - параметры распределения. П. р. является "многомерным дискретным распределением - распределением случайного вектора (X1,..., Xk) с Х 1+...+Xk=n (это распределение является iio существу (k-1)-мерным, т. к. в евклидовом пространстве kизмерений оно вырождено). П. р. естественным образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с последним при k=2. Название распределения объясняется тем, что вероятность (*) является общим членом разложения многочлена (полинома) (p1+...+pk)n- П. р. появляется в следующей вероятностной схеме. Каждая из случайных величин Х i есть число появлений одного из взаимоисключающих событий Aj, j = 1,..., k, при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события Aj равна Pj, j=1,..., k, то вероятность (*) равна вероятности того, что при писпытаниях события A1,..., Ak появятся n1,..., nk, раз соответственно. Каждая из случайных величин Х j- имеет биномиальное распределение с математик, ожиданием npj и дисперсией npj(1-pj). Случайный вектор (X1,..., Х k).имеет математич. ожидание (np1,..., пр k).и ковариационную матрицу В= ||bij||, где [img: http://localhost:8080/file/041725-3.jpg] (ранг матрицы B равен k-1 в силу того, что). [img: http://localhost:8080/file/041725-4.jpg] n Характеристич. функция П. р. равна [img: http://localhost:8080/file/041725-5.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/041725-6.jpg] распределение вектора (Y1,..., Yk).с нормированными компонентами [img: http://localhost:8080/file/041725-7.jpg] стремится к нек-рому многомерному нормальному распределению, а распределение суммы [img: http://localhost:8080/file/041725-8.jpg] (к-рая используется в математич. статистике для построения " хи-квадрат" критерия).стремится к чхи-квадрат" распределению с k-1 степенями свободы.