Полная линейная группа

группа всех обратимых матриц степени пнад ассоциативным кольцом K с единицей; общепринятое обозначение: GLn(K).или GL(n, К). П. л. г. GL(n, K) может быть также определена как группа автоморфизмов АutK(V) свободного правого K-модуля Vс побразующими. В исследовании группы GL (n, К).большой интерес представляет вопрос о ее нормальном строении. Центр Zn группы GL(n, К).состоит из скалярных матриц с элементами из центра кольца К. В классич. случае, когда К - поле, решающую роль играет исследование нормального строения специальной линейной группы SL(n, K), состоящей из матриц с определителем 1. А именно, коммутант группы GL(n, К).совпадает с SL(n, К).(кроме случая n=2, | К| -2), и всякая нормальная подгруппа группы GL,(n, К).либо содержится в Zn, либо содержит SL(n, К). В частности, специальная проективная группа [img: http://localhost:8080/file/041725-110.jpg] является простой (за исключением случаев п=2,|K|=2,3). Если К - тело и n>1, то всякая нормальная подгруппа группы GL(n, К).либо содержится в Z п, либо содержит коммутант SL+(n, K) группы GL(n, K), причем коммутант SL+(n, К).порождается трансвекциями и факторгруппа [img: http://localhost:8080/file/041725-111.jpg] проста. Кроме того, существует естественный изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041725-112.jpg] где К*- мультипликативная группа тела К. Если Кконечномерно над своим центром k, то роль группы SL(n, K) играет группа всех матриц из GL(n, К).с приведенной нормой 1. Группы SL(n, K) и SL+(n, К).не всегда совпадают, но если k - глобальное поле, то это так (см. Кнезера - Титса гипотеза). Исследование нормального строения П. л. г. над произвольным кольцом Ксвязано с развитием алгебраической К-теории. Над кольцами Кобщего типа группа GL(n, К).может быть весьма насыщена нормальными подгруппами. Напр., если К - коммутативное кольцо без делителей нуля и с конечным числом образующих, то группа GL(n, К).финитно аппроксимируема, т. е. для каждого ее элемента gсуществует нормальная подгруппа Ng конечного индекса, не содержащая g. В случае К= [img: http://localhost:8080/file/041725-113.jpg]. задача описания нормальных подгрупп группы GL (п, [img: http://localhost:8080/file/041725-114.jpg]) фактически эквивалентна конгруэнц-проблеме для группы SL(n, [img: http://localhost:8080/file/041725-115.jpg]), поскольку [img: http://localhost:8080/file/041725-116.jpg] а всякая нескалярная нормальная подгруппа группы SL(n, [img: http://localhost:8080/file/041725-117.jpg]) при n>2 является конгруэнц-подгруппой. Имеется глубокая аналогия между строением П. л. г. и строением других классич. групп, к-рая простирается далее на простые алгебраические группы и группы Ли.