Полное риманово пространство

риманово пространство с функцией расстояния r, полное как метрич. пространство с метрикой r. Пусть М - связное риманово пространство со связностью Леви-Чивита, тогда следующие три утверждения эквивалентны: а) М - полно; б) для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041726-57.jpg] экспоненциальное отображение ехр p определено на всем М р (где М р - касательное пространство и Мв р);в) каждое ограниченное по отношению к расстоянию r замкнутое множество [img: http://localhost:8080/file/041726-58.jpg] компактно (теорема Хопфа - Ринова). Следствия: любые две точки р, [img: http://localhost:8080/file/041726-59.jpg] П. р. п. можно соединить на Мгеодезич. длины r(р, q);любая геодезическая неограниченно продолжаема. Имеется [2] обобщение этой теоремы на случай пространства с несимметричной функцией расстояния.