Положительный оператор

положительное отображение,- 1) П. о. в гильбертовом пространстве - линейный оператор А, для к-рого соответствующая квадратичная форма (Ах, х).неотрицательна. П. о. необходимо симметричен и допускает самосопряженное расширение, также являющееся П. о. Самосопряженный оператор Аявляется П. о. тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий: а) А=В*В, где В- замкнутый оператор; б) А=В 2, где В - самосопряженный оператор; в) спектр Асодержится в [img: http://localhost:8080/file/041727-91.jpg]. Совокупность ограниченных П. о. в гильбертовом пространстве образует конус в алгебре всех ограниченных операторов. 2) П. о. в пространстве с конусом - отображение векторного пространства Xв себя, сохраняющее выделенный в Xконус К. Интегральные операторы с положительными ядрами в различных функциональных пространствах с выделенными конусами положительных функций являются линейными П. о. При нек-рых дополнительных условиях на геометрию конуса Ки действие П. о. А удается установить существование А- собственных векторов из X(соответствующие собственные значения наз. позитивными, или ведущими, они превосходят абсолютные величины всех остальных собственных значений). Напр., доказано (см. [3]), что если А - вполне непрерывный П. о. с ненулевым спектром, то его спектральный радиус является позитивным собственным значением. Условие компактности можно заменить условиями на поведение резольвенты (см. [4]). В случае нелинейных П. о. исследуется вопрос о существовании неподвижной точки оператора (т. е. решения уравнения Ах=х).и о возможности нахождения этой точки как предела определенных рекуррентных последователей. Нек-рые результаты теории П. о. могут быть перенесены на операторы, оставляющие инвариантными выделенные подмножества более общей природы, чем конусы (см. [5]). 3) П: о. в инволютивной алгебре (*-алгебре) - линейное отображение *-алгебры А в инволютивную алгебру В, переводящее положительные элементы в положительные. Наиболее изучены П. о. С*-алгебр (являющиеся, поскольку положительные элементы С*-алгебры образуют конус, частным случаем П. о. пространств с конусом). Имеет место неравенство Шварца для П. о. С*-алгебр: [img: http://localhost:8080/file/041727-92.jpg], если а=а*. Найдены крайние точки множества унитальных (т. е. сохраняющих единичный элемент) П. о. Изучались вполне непрерывные положительные операторы (в. н. п. о.), то есть линейные отображения [img: http://localhost:8080/file/041727-93.jpg], для к-рых положительны все отображения [img: http://localhost:8080/file/041727-94.jpg] матричных С*-алгебр М(А).в М(В). Оказалось, что для в. н. п. о. справедлив аналог теоремы о продолжении положительного функционала: в. н. п. о. С*- алгебры Ав нек-рую алгебру Неймана может быть продолжен до в. н. п. о. любой С*-алгебры, содержащей А. Если одна из С*-алгебр А, В коммутативна (и только в этом случае), то всякий П. о. является в. н. п. о. 4) П. о. в банаховом пространстве Е - линейный оператор Атакой, что [img: http://localhost:8080/file/041727-95.jpg], где К- положительный конус в Е. Собственный вектор А, лежащий в К, наз. положительным, а соответствующее собственное значение - позитивным. Если К - воспроизводящий конус, А - вполне непрерывный положительный оператор и [img: http://localhost:8080/file/041727-96.jpg] для нек-рого вектора и, не принадлежащего конусу - К, натурального ри a>0, то спектральный радиус r А оператора Аявляется позитивным собственным значением А, причем [img: http://localhost:8080/file/041727-97.jpg] (теорема Крейна - Рутмана).