Положительный функционал

на алгебре с инволюцией * - линейный функционал f на * - алгебре А, удовлетворяющий условию [img: http://localhost:8080/file/041727-98.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041727-99.jpg]. Важность П. ф. и причина их введения заключается, в частности, в том, что они используются в так наз. ГНС-конструкции - одного из основных методов исследования структуры банаховых * - алгебр. На ней (и на ее обобщениях, напр. на веса на С*-алгебрах) основано доказательство теоремы - абстрактной характеризации равномерно замкнутых * - алгебр операторов в гильбертовом пространстве и теоремы о полноте системы неприводимых унитарных представлений локально, компактной группы. ГНС-конструкция есть способ построения по произвольному П. ф. f на * -алгебре Ас единицей такого * - представления pf алгебры Ав гильбертовом пространстве Hf, что f(x)=<pf(x) x, x> для всех [img: http://localhost:8080/file/041727-100.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041727-101.jpg] - нек-рый циклич. вектор, к-рый состоит в следующем. В Аопределяется полускалярное произведение <x, y>=f(y*x);соответствующим нейтральным подпространством является левый идеал Nf={x [img: http://localhost:8080/file/041727-102.jpg] А:f(x*x)=0}, поэтому в предгильбертовом пространстве A/Nf корректно определены операторы левого умножения L а на элементы [img: http://localhost:8080/file/041727-103.jpg]; операторы La непрерывны и продолжаются до непрерывных операторов [img: http://localhost:8080/file/041727-104.jpg] в пополнении Hf пространства A/Hf. Отображение яу, переводящее [img: http://localhost:8080/file/041727-105.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041727-106.jpg], и есть требуемое, представление, причем в качестве x можно взять образ единицы при суперпозиции канонич. отображений [img: http://localhost:8080/file/041727-107.jpg].