Полугиперболическое пространство

проективное n-пространство, в к-ром метрика определяется заданным абсолютом, состоящим из совокупности действительного конуса 2-го порядка Q0 индекса l0 с(п-т 0-1)-плоской вершиной Т 0, (п-т 0-2)-действительного конуса Q1 индекса l1 с (п-т 1-1)-плоской вершиной Т 1 в (n-m0-1)-плоскости Т 0,(п-m1-2)-действительного конуса Q2 индекса l2 с (n-m2-1)-плоской вершиной Т 2 в (п-m1-1)-плоскости Т 1 и т. д. до (n-mr_2 -2)-действительного конуса Qr-1 индекса lr-1 с (n-mr_1-1)-плоской вершиной Tr-1 и невырожденной действительной (п-mr-1-2)-квадрикой Qr индекса lr в плоскости Tr-1 [img: http://localhost:8080/file/041728-2.jpg] Такое пространство наз. [img: http://localhost:8080/file/041728-3.jpg] П. и. индексов l0, l1;..., 1r и обозначается В случае, когда конус Q0 является парой слившихся плоскостей, совпадающих с плоскостью Т 0 (при m0=0), П. п. с несобственной плоскостью Т 0 наз. полуевклидовым пространством: [img: http://localhost:8080/file/041728-4.jpg] Расстояние между точками Xи Yопределяется в зависимости от расположения прямой XY относительно плоскостей Т 0, Т 1,..., Т r-1. Если, в частности, прямая XY не пересекает плоскость Т 0, то расстояние между точками Xи Yопределяется с помощью скалярного произведения аналогично соответствующему определению в квазигиперболическом пространстве. Если же прямая XY пересекает плоскость Т 0, но не пересекает плоскость Т 1 или пересекает плоскость Ta-1 но не пересекает плоскость Т а, то расстояние между точками определяется с помощью, скалярного квадрата разности соответствующих векторов точек Xи Y. В зависимости от расположения относительно плоскостей Т 0, T1,..., Т а,... абсолюта различаются четыре типа прямых различных порядков: эллиптические, гиперболические, изотропные и параболические. Углы между плоскостями в П. п. определяются по аналогии с определением углов между плоскостями в квазигиперболич. пространстве, т. е. с использованием расстояний в двойственном пространстве. Проективная метрика П. п. является метрикой наиболее общего вида. Частным случаем метрики П. п., напр., является метрика квазигиперболич. пространства. В частности,2-плоскость [img: http://localhost:8080/file/041728-5.jpg] совпадает с псевдоевклидовой 1R2, плоскость [img: http://localhost:8080/file/041728-6.jpg] - с копсевдоевклидовой [img: http://localhost:8080/file/041728-7.jpg]; 3-пространства [img: http://localhost:8080/file/041728-8.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041728-9.jpg] совпадают с квазигиперболическим 3-пространством, 3-пространство [img: http://localhost:8080/file/041728-10.jpg] - с копсевдоевклидовым [img: http://localhost:8080/file/041728-11.jpg] и т. д.; 3-пространство [img: http://localhost:8080/file/041728-12.jpg] двойственно псевдогалилееву пространству 1 Г 3, оно наз. копсевдогалилеевым пространством, его абсолют состоит из пары действительных плоскостей (конус Q0).и точки T1 на прямой Т 0 пересечения этих плоскостей. Движениями П. п. наз. его коллинеации, переводящие абсолют в себя. При m а=п-mr-а-1-1 и при la = lr-a П. п. двойственно самому себе. В таком пространстве определяются кодвижения, определения к-рых аналогичны определению кодвижения в квазигиперболич. пространстве, двойственном самому себе. Движения, движения и кодвижения образуют группы, являющиеся группами Ли. Движения (как и кодвижения) П. п. описываются псевдоортогональными операторами индексов, определенных индексами пространства. П. п. является полуримапивым пространством.