Полугруппа нелинейных операторов

однопараметрическое семейство операторов S(t),0 [img: http://localhost:8080/file/041728-40.jpg] t< [img: http://localhost:8080/file/041728-41.jpg], определенных и действующих в замкнутом подмножестве Сбанахова пространства X, обладающее свойствами: 1) S(t+t)x= S(t)(S(t)x).при х [img: http://localhost:8080/file/041728-42.jpg] С, t,t>0; 2) S(Q)x=x для любого х [img: http://localhost:8080/file/041728-43.jpg] С; 3) при каждом х [img: http://localhost:8080/file/041728-44.jpg] Сфункция S(t)x(со значениями в X).непрерывна по tна [0, [img: http://localhost:8080/file/041728-45.jpg]). Полугруппа S(t).имеет тип w, если [img: http://localhost:8080/file/041728-46.jpg] Полугруппа типа 0 наз. сжимающей. Так же, как и для полугрупп линейных операторов, вводится понятие производящего оператора А 0 полугруппы S(t). [img: http://localhost:8080/file/041728-47.jpg] на тех элементах [img: http://localhost:8080/file/041728-48.jpg], для к-рых этот предел существует. Если полугруппа сжимающая, то А 0- диссипативный оператор. При этом оператор Ав банаховом пространстве Xдиссипативен, если || х-у-l(Ах-Ау)|| [img: http://localhost:8080/file/041728-49.jpg] ||х-у|| при [img: http://localhost:8080/file/041728-50.jpg]. Диссипативный оператор может быть многозначным, тогда в определении под Ах понимается любое его значение на х. Диссипативный оператор наз. m-диссипативным, если lm (I-lА)=Х при l>0. Если S(t) - типа w, то A0-wI диссипативен. Основная теорема о порождении полугруппы: если оператор А-wI диссипативен и при достаточно малых l>0 образ Im (I-lA) оператора I-lАсодержит D(А), то существует полугруппа SA(t) типа со на [img: http://localhost:8080/file/041728-51.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/041728-52.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041728-53.jpg], при этом сходимость равномерна на любом конечном промежутке изменения t. (Существование полугруппы SA(t).можно показать, если заменить условие [img: http://localhost:8080/file/041728-54.jpg] более слабым: [img: http://localhost:8080/file/041728-55.jpg] где d - расстояние между множествами.) С оператором Аможно связать задачу Коши [img: http://localhost:8080/file/041728-56.jpg] (*) Если существует сильное решение задачи (*), т. е. непрерывная на [0, [img: http://localhost:8080/file/041728-57.jpg]) функция u(t), абволютно непрерывная на любом компакте из (0, [img: http://localhost:8080/file/041728-58.jpg]), принимающая при почти всех t>0 значения в D(A), имеющая при почти всех t>0 сильную производную, удовлетворяющую включению (*), то u(t)=SA(t)x. Любая функция SA(t)хявляется единственным т. Если в условиях основной теоремы пространство Xрефлексивно и Азамкнут, то при х [img: http://localhost:8080/file/041728-59.jpg] D (А).функция u(t)=SA(t).дает сильное решение задачи Коши (*), при этом [img: http://localhost:8080/file/041728-60.jpg] почти везде, где A0z - множество элементов минимальной нормы из Az. В этом случае производящий оператор А 0 полугруппы SA(t).плотно задан: [img: http://localhost:8080/file/041728-61.jpg]. Если, сверх того, Xи X' равномерно выпуклы, то оператор А 0 однозначен и при всех [img: http://localhost:8080/file/041728-62.jpg] существует правая производная [img: http://localhost:8080/file/041728-63.jpg]; эта функция непрерывна справа на [0, [img: http://localhost:8080/file/041728-64.jpg]) и непрерывна во всех точках, кроме, быть может, счетного множества, в этом случае D(A0) = D(A).и А 0=А 0. Если Xрефлексивно (соответственно X=Y', где Y - сепарабельно), а оператор Аоднозначен и обладает тем свойством, что из [img: http://localhost:8080/file/041728-65.jpg] в Xи [img: http://localhost:8080/file/041728-66.jpg] в слабой топологииs(Х, X').(соответственно s(Х, Y)) следует у=Ах, то [img: http://localhost:8080/file/041728-67.jpg] и u(t).слабо (соответственно слабо *) непрерывно дифференцируемое решение задачи (*). В нерефлексивном случае известны примеры, когда выполнены условия основной теоремы при [img: http://localhost:8080/file/041728-68.jpg] ==Х и функции u(t) = SA(t)xне имеют даже слабой производной в Xни при каких [img: http://localhost:8080/file/041728-69.jpg]. Пусть А- непрерывный оператор, определенный на всем Xи такой, что А-wI диссипативен. Тогда Im(I-lА)=X при l>0, lw <1 и для любого [img: http://localhost:8080/file/041728-70.jpg] задача (*) имеет единственное непрерывно дифференцируемое на [0, [img: http://localhost:8080/file/041728-71.jpg]) решение и(t)=SA(t)x. Если оператор Анепрерывен в замкнутой области определения D(A), то для того, чтобы он был производящим оператором полугруппы типа w на D(А), необходимо и достаточно, чтобы А-wI был диссипативным и [img: http://localhost:8080/file/041728-72.jpg],D(A))=0 при [img: http://localhost:8080/file/041728-73.jpg] В гильбертовом пространстве Нсжимающая полугруппа на множестве Сможет быть продолжена для сжимающей полугруппы на замкнутом выпуклом множестве [img: http://localhost:8080/file/041728-74.jpg] из Н. При этом производящий оператор А 0 расширенной полугруппы будет определен на плотном в [img: http://localhost:8080/file/041728-75.jpg] множестве. Существует единственный m-диссипативный оператор такой, что [img: http://localhost:8080/file/041728-76.jpg] и А 0=А 0. Если Аесть m-диссипативнын оператор, то [img: http://localhost:8080/file/041728-77.jpg] выпукло и существует единственная сжимающая на [img: http://localhost:8080/file/041728-78.jpg] полугруппа S(t)=SA(t), для к-рой A0=A0. Если на действительном гильбертовом пространстве Нзадан выпуклый полунепрерывный функционал j и дj - его субдифференциал, то оператор Ax=-дj(x) (для тех x, при к-рых дj(х).непусто) является диссипативным. Полугруппа SA(t).обладает свойствами, сходными со свойствами линейных аналитич. олугрупп. В частности, [img: http://localhost:8080/file/041728-79.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/041728-80.jpg] и u(t)=SA(t)xявляется сильным решением задачи Коши (*), причем [img: http://localhost:8080/file/041728-81.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041728-82.jpg]. Если j достигает минимума, то и(t).слабо сходится при [img: http://localhost:8080/file/041728-83.jpg] к нек-рой точке минимума. Для приближенного решения задачи Коши существенную роль играют теоремы об аппроксимации полугрупп. Пусть X, Х n, n=1, 2,...,- банаховы пространства, операторы Ав Х и А n в Х п однозначны и удовлетворяют условиям основной теоремы с общим типом ш, операторы [img: http://localhost:8080/file/041728-84.jpg] - линейны и [img: http://localhost:8080/file/041728-85.jpg] const. Тогда из сходимости резольвент (l>0, lw<1) [img: http://localhost:8080/file/041728-86.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041728-87.jpg] следует сходимость полугрупп [img: http://localhost:8080/file/041728-88.jpg] равномерная на каждом конечном промежутке. Мультипликативные формулы Ли, полученные им в конечномерном линейном случае, обобщены на нелинейный случай. Если А, В и А +В суть m-диссипативные однозначные операторы в гильбертовом пространстве и замкнутое выпуклое множество [img: http://localhost:8080/file/041728-89.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041728-90.jpg] инвариантно относительно (I-lА)-1 и (I-lВ)-1, то при любом [img: http://localhost:8080/file/041728-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041728-92.jpg] Эта формула справедлива также в произвольном банаховом пространстве Xдля любого [img: http://localhost:8080/file/041728-93.jpg], если А - плотно заданный линейный m-диссипативный оператор, а В - заданный на всем Xнепрерывный диссипативный оператор. В обоих случаях [img: http://localhost:8080/file/041728-94.jpg] В приводимых ниже примерах нелинейных дифференциальных операторов, удовлетворяющих условиям основной теоремы о порождении полугрупп, указывается лишь пространство Xи краевые условия, а точное описание D(А).опускается. Во всех примерах W - ограниченная область в [img: http://localhost:8080/file/041728-95.jpg] с гладкой границей; b, g - многозначные максимальные монотонные отображения [img: http://localhost:8080/file/041728-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041728-97.jpg] - непрерывная строго возрастающая функция, y(0)=0. Пример 1. [img: http://localhost:8080/file/041728-98.jpg] на Г. Пример 2. [img: http://localhost:8080/file/041728-99.jpg] на Г. Пример 3. [img: http://localhost:8080/file/041728-100.jpg] на Г. Пример4. [img: http://localhost:8080/file/041728-101.jpg], u=0 на Г. Пример 5. [img: http://localhost:8080/file/041728-102.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041728-103.jpg] со значениями в [img: http://localhost:8080/file/041728-104.jpg]. Пример 6. [img: http://localhost:8080/file/041728-105.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041728-106.jpg] непрерывна.