Полунорма

- конечная неотрицательная функция рна векторном пространстве Е(над нолем действительных или комплексных чисел), подчиненная условиям: [img: http://localhost:8080/file/041730-46.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041730-47.jpg] и скаляров l. Примером П. служит норма;. отличие заключается в том, что для П. допустимо р(х)=0 при [img: http://localhost:8080/file/041730-48.jpg]. Если на векторном пространстве задана полунорма р, а на его подпространстве - линейный функционал f, подчиненный условию [img: http://localhost:8080/file/041730-49.jpg], то его можно продолжить на все пространство с сохранением этого условия (теорема Хана - Банаха). В математич. анализе наиболее употребительны отделимые топологические векторные пространства, базис окрестностей нуля в к-рых можно составить из выпуклых множеств. Такие пространства наз. локально выпуклыми. В этих пространствах базис может быть описан неравенствами р(x)<1, где р - непрерывные П. В то же время в практике математич. анализа встречаются и такие топологич. векторные пространства (в том числе и с метризуемой топологией), на к-рых нет нетривиальных непрерывных П. Простейший пример такого рода - пространство Lq(0, 1), где 0<q<1.