Полупростой эндоморфизм

полупростое линейное преобразование, векторного пространства Vнад полем К - эндоморфизм a пространства Vтакой, что всякое подпространство в V, инвариантное относительно a, обладает инвариантным прямым дополнением. Другими словами, требуется, чтобы a. определял на Vструктуру полупростого модуля над кольцом К[X]. Напр., любое ортогональное, симметрическое или кососимметрическое линейное преобразование конечномерного евклидова пространства, а также любое диагонализируемое (т. е. записывающееся в нек-ром базисе диагональной матрицей) линейное преобразование конечномерного векторного пространства являются П. э. Полупростота эндоморфизма сохраняется при переходе к инвариантному подпространству [img: http://localhost:8080/file/041730-84.jpg] и к факторпространству V/W. Пусть dim [img: http://localhost:8080/file/041730-85.jpg]. Эндоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041730-86.jpg] является П. э. тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных множителей. Пусть, кроме того, L - расширение поля Ки [img: http://localhost:8080/file/041730-87.jpg] - продолжение эндоморфизма a на пространство [img: http://localhost:8080/file/041730-88.jpg]. Если a(L) полупрост, то и а полупрост, а если Lceпapaбельно над К, то верно и обратное. Эндоморфизм а наз. абсолютно полу простым, если a(L) полупрост для любого расширения [img: http://localhost:8080/file/041730-89.jpg]; для этого необходимо и достаточно, чтобы минимальный многочлен не имел кратных корней в алгебраич. замыкании [img: http://localhost:8080/file/041730-90.jpg] поля К, т. е. чтобы эндоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041730-91.jpg] был диагонализируем.