Полупрямое произведение

группы Ана группу В - группа G=AB, являющаяся произведением своих подгрупп А и В, причем Внормальца в G, и [img: http://localhost:8080/file/041730-92.jpg] ={1}. Если также и Анормальна в G, то П. п. превращается в прямое произведение. П. п. по группам Аи В строится неоднозначно. Для построения П. п. нужно еще знать, какие автоморфизмы на группе Ввызывают сопряжения элементами из А. Точнее, если G=AB - П. п., то каждому элементу [img: http://localhost:8080/file/041730-93.jpg] соответствует автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041730-94.jpg], являющийся сопряжением элементом а: [img: http://localhost:8080/file/041730-95.jpg] При этом соответствие [img: http://localhost:8080/file/041730-96.jpg] есть гомоморфизм А [img: http://localhost:8080/file/041730-97.jpg] Aut В. Обратно, если Аи В - произвольные группы, то для любого гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/041730-98.jpg] существует единственное П. п. группы Ана группу Втакое, что aa=j(а) для любого [img: http://localhost:8080/file/041730-99.jpg]. П. п. является частным случаем расширения группы Вс помощью группы А, такое расширение наз. расщепляющимся.