Полуриманово пространство

пространство с полуримановой метрикой (с вырожденным метрич. тензором). П. п. является обобщением понятия риманова пространства. Определение П. п. может быть выражено с помощью понятий, применяемых при определении риманова пространства. В определении риманова пространства Vn используется в качестве касательного пространства евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/041730-116.jpg], причем касательные векторы в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041730-117.jpg] инвариантны при параллельных переносах V п (метрич. тензор aij пространства Vn абсолютно постоянен). Если в качестве касательного пространства в каждой точке пространства V п берется полуевклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/041730-118.jpg], то метрика пространства V п будет являться вырожденной, метрич. тензор также абсолютно постоянен, но является теперь вырожденным, его матрица имеет ранг m1 и имеет неособенную подматрицу. Определяется второй вырожденный метрич. тензор в (п-m1)-плоскости (aijxj = 0), к-рая наз. нулевой (п-т 1).плоскостью тензора а ij; его матрица также обладает неособенной подматрицей и т. д. Последний, r-й метрич. тензор, определенный в нулевой (п-mr-1)-плоскости (r-1)-го тензора,- невырожденный тензор с неособенной матрицей. Такое пространство и наз. П. п. и в этом случае обозначается символом [img: http://localhost:8080/file/041730-119.jpg]. Аналогично определяется П. п. вида [img: http://localhost:8080/file/041730-120.jpg], т. Пространства [img: http://localhost:8080/file/041730-122.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041730-123.jpg] наз. квазиримановыми пространствами. Как и в римановом пространстве, в П. п. вводится понятие кривизны в двумерном направлении. Полугиперболич. и полуэллиптич. пространства являются П. п. постоянной ненулевой кривизны, а полуевклидово пространство - П. п. постоянной нулевой кривизны. Таким образом, П. п. может быть определено как пространство аффинной связности (без кручения), касательные пространства к-рого в каждой точке являются полуевклидовыми (или полупсевдоевклидовыми), причем метрич. тензор П. п. является абсолютно постоянным. В П. п. дифференциальная геометрия линий и поверхностей строится пв аналогии с дифференциальной геометрией линий и поверхностей в Vn с учетом указанной выше специфичности П. п. Поверхности полугиперболич. и полуэллиптич. пространств сами являются П. п. В частности, m-орисфера полугиперболич. пространства [img: http://localhost:8080/file/041730-124.jpg] изометрична П. п. [img: http://localhost:8080/file/041730-125.jpg], метрика к-рого сводится к метрике полуэллиптич. пространства [img: http://localhost:8080/file/041730-126.jpg]; этот факт является обобщением изометричности орисферы пространства Лобачевского евклидовому пространству.